【題目】如圖,已知矩形OABC,以點O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系,其中A2,0),C0,3),點P以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)在射線CO上運動,連接BP,作BEPBx軸于點E,連接PEAB于點F,設(shè)運動時間為t秒.

1)當(dāng)t4時,求點E的坐標(biāo);

2)在運動的過程中,是否存在以PO、E為頂點的三角形與△ABE相似.若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1)點E的坐標(biāo)是(80);(2)存在,P的坐標(biāo)為:(0,)或(0,﹣).

【解析】

1)過點ECB的垂線,垂足為H,首先證明PBC∽△BEH,然后由相似三角形的性質(zhì)求出BH6,得出OE8即可求出點E的坐標(biāo);

2)本題需先證出BCP∽△BAE,求出AEt,再分四種情況討論:①點P在點O上方時,POE∽△EAB;②點P在點O上方時,POE∽△BAE;③當(dāng)點P在點O下方時,OPE∽△ABE;④當(dāng)點P在點O下方時,OEP∽△ABE;分別求解即可.

解:(1)當(dāng)t4時,PC4,

過點ECB的垂線,垂足為H,如圖1所示:

A2,0),C0,3),

OA2OC3,

∵四邊形OABC是矩形,

ABOC3,BCOA2,

∵∠BPC+PBC90°,∠PBC+EBH90°,

∴∠BPC=∠EBH,

∵∠EHB=∠BCP90°

∴△PBC∽△BEH,

,即

解得:BH6,

AEBH6,

OEOA+AE2+68

∴點E的坐標(biāo)是(8,0);

2)存在;

∵∠ABE+ABP90°,∠PBC+ABP90°,

∴∠ABE=∠PBC

∵∠BAE=∠BCP90°

∴△BCP∽△BAE,

,

AEt,

當(dāng)點P在點O上方時,如圖2所示:

①若時,POE∽△EAB,

OP3tOE2+t,

解得:t1,t2(舍去),

OP3

P的坐標(biāo)為(0);

②若POE∽△BAE,

∵∠PEO和∠BEA明顯不相等,

∴此情況不成立;

當(dāng)點P在點O下方時,如圖3所示:

③若,則OPE∽△ABE

,

解得:t13+t23(舍去),

OPt33+3,

P的坐標(biāo)為(0,﹣);

④若,則OEP∽△ABE

,整理得:t2=﹣9

∴這種情況不成立,

綜上所述,存在以P、OE為頂點的三角形與ABE相似,P的坐標(biāo)為:(0,)或(0,﹣).

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(2)下表是xy的幾組對應(yīng)值.

...

1

2

3

...

...

m

...

m的值;

(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點.根據(jù)描出的點,畫出該函數(shù)的圖象;

(4)進一步探究發(fā)現(xiàn),該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的最低點的坐標(biāo)是(1,).結(jié)合函數(shù)的圖象,寫出該函數(shù)的其它性質(zhì)(寫兩條即可).

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3)在圖中用直尺和2B鉛筆畫出兩個矩形(不寫畫法),要求每個矩形均需滿足下列兩個條件:

①四個頂點均在格點上,且其中兩個頂點分別是點O,點P;

②矩形的面積等于k的值.

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(2)若顧客選擇方式二,請用樹狀圖或列表法列出所有可能,并求顧客享受8折優(yōu)惠的概率.

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