Question

已知，在直角坐標(biāo)系中，△ABO的位置如圖1，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，4），AB=AO，AB∥x軸交于y軸于點(diǎn)H．

（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)（

2

，

4

   ），△ABO的面積是

10

．
（2）把△ABO沿直線OB翻折得到△CBO，連接AC交于y軸于點(diǎn)M，請(qǐng)?jiān)趫D2 中畫(huà)出圖形，并判斷此時(shí)四邊形AOCB的形狀，說(shuō)明理由．
（3）連接BM，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線ABC方向向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)P的速度為每秒2個(gè)單位，設(shè)△PMB的面積為S（S≠0），求當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，并求出S的最大值．
（4）在（3）條件下，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)∠MPB+∠BCO=90°時(shí)，求直線OP與直線AC所夾銳角的正切值．

Answer 1

分析：（1）知道點(diǎn)A的坐標(biāo)，由條件可以知道點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，作AT⊥x軸于點(diǎn)T，由勾股定理可以求出AO的值，從而求出HB就可以求出B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可以得到OC=OA，BC=AB，再由條件可以得到四邊都相等從而得出結(jié)論．
（3）根據(jù)題意求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出直線AC的解析式，再求出AC與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)M，再根據(jù)點(diǎn)P在移動(dòng)過(guò)程中的變化情況P在AB和AC上時(shí)求出其△PMB的面積解析式，最后求出結(jié)論．
（4）根據(jù)條件分為兩種情況，當(dāng)P點(diǎn)AB上或P點(diǎn)在BC上證明三角形相似，由相似三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度，根據(jù)在直角三角形中的三角函數(shù)值的計(jì)算方法就可以求出兩種不同的位置時(shí)的直線OP與直線AC所夾銳角的正切值．

解答：解：（1）如圖1，作AT⊥x軸于點(diǎn)T，
∴∠ATO=90°，
∵A（-3，4），
∴AT=4，TO=3，在Rt△AOT中由勾股定理，得
AO=

9+16

=5．
∵AB=AO，
∴AO=5，
∴BH=2，
∵AB∥x軸，
∴B（2，4），S_△AOB=

5×4

2

=10
故答案為：（2，4），10．

（2）四邊形AOCB是菱形．
∵△ABO沿直線OB翻折得到△CBO，
∴OB垂直平分AC，
∴OC=OA，BC=AB，
∴OC=OA=BC=AB，
∴四邊形AOCB是菱形．

（3）∵OC=OA=5，
∴C（5，0），設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則

0=5k+b 4=-3k+b

，解得，

k=- 1 2 b= 5 2

，
直線AC的解析式為：y=-

1

2

x+

5

2

，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=

5

2

，
∴M（0，

5

2

），
∴OM=

5

2

，HM=

3

2

如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∴S=

1

2

BP•HM=

1

2

（5-2t）×

3

2

=-

3

2

t+

15

4

（0≤t＜

5

2

）
∵-

3

2

＜0，
∴當(dāng)t=0時(shí)，S有最大值

15

4

，
當(dāng)t=

5

2

時(shí)，點(diǎn)P與B點(diǎn)重合，△PMB不存在，S=0．
∵四邊形AOCB是菱形，
∴MB=MO，∠MBC=∠MOC=90°，
如圖3，當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∴S=

1

2

BP•BM=

1

2

（2t-5）×

5

2

，
S=

5

2

t-

25

4

（

5

2

＜t≤5）
∵

5

2

＞0，
∴當(dāng)t=5時(shí)，S有最大值

25

4

，
綜上所述，當(dāng)t=5時(shí)，S有最大值

25

4

．

（4）設(shè)OP與AC相交于F，連接OB交AC于點(diǎn)D．
∵四邊形AOCB是菱形，
∴∠AOC=∠ABC，∠BOC=∠ABO，∠BAO=∠BCO，
∴∠AOM=∠ABM．
∵∠MPB+∠BCO=90°，
∴∠MPB+∠BAO=90°
∵∠BAO+∠AOM=90°
∴∠MPB=∠AOM=∠ABM．
如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵∠MPB=∠ABM．，OH⊥AB
∴PH=HB=5-3=2，PA=1，
∴t=

1

2

∵△AFP∽△CFO，
∴

AF

CF

=

AP

CO

=

1

5

，
∴AF=

1

6

AC
在Rt△AEC和△OBH中，由勾股定理，得
AC=4

5

，OB=2

5

，
∴AF=

1

6

×4

5

=

2

3

5

，
∴CF=

10

3

5

，
∵四邊形ABCO是菱形，
∴AC⊥OB，OD=BD=

5

，AD=CD=2

5

，
∴FD=2

5

-

2

3

5

=

4

3

5

，
∴tan∠OFC=

OD

FD

=

5

4 3 5

=

3

4

如圖5，當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB+∠BMP=90°，∠MPB+∠BCO=90°，
∴∠BMP=∠BCO=∠BAO，
∵∠AOM=∠ABM，且∠ABM+∠BMH=90°，∠AOM+∠BAO=90°，
∴∠BMH=∠BAO=∠BCO=∠BMP，即∠BMH=∠BMP，
∴△BHM∽△PBM，
∴

HB

PB

=

HM

BM

，
∴

2

PB

=

3 2

5 2

，
∴BP=

10

3

，
∴PC=5-

10

3

=

5

3

，
∴t=

5+ 10 3

2

=

25

6

，
∵PC∥OA，
∴△PFC∽△OFA，
∴

CF

AF

=

PC

OA

=

5 3

5

=

1

3

，
∴CF=

1

4

AC=

5

，
∴FD=CD-CF=2

5

-

5

=

5

，
∴tan∠OFD=

OD

DF

=

5

5

=1
綜上所述，當(dāng)t=

1

2

時(shí)，直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為

3

4

，當(dāng)t=

25

6

時(shí)，直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，菱形的判定，圖形的翻折變換，銳角三角函數(shù)的運(yùn)用及勾股定理的運(yùn)用．