Question

【題目】如圖1，△ABC為等腰三角形，AB=AC=a，P點(diǎn)是底邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD∥AC，PE∥AB．

⑴用a表示四邊形ADPE的周長(zhǎng)為 ；

⑵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ADPE是菱形，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶如果△ABC不是等腰三角形(圖2)，其他條件不變，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ADPE是菱形(不必說(shuō)明理由)．

Answer 1

【答案】⑴2a；⑵見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由題意可得四邊形ADPE為平行四邊形，由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得DB=DP，即可求四邊形ADPE的周長(zhǎng)；

（2）當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形ADPE是菱形，由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得AE=EP，則平行四邊形ADPE是菱形；

（3）P運(yùn)動(dòng)到∠A的平分線上時(shí)，四邊形ADPE是菱形，首先證明四邊形ADPE是平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠3，從而可證出∠2=∠3，進(jìn)而可得AE=EP，然后可得四邊形ADPE是菱形．

解：⑴∵PD∥AC，PE∥AB，

∴四邊形ADPE為平行四邊形，

∴AD=PE，DP=AE，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵DP∥AC，

∴∠B=∠DPB，

∴DB=DP，

∴四邊形ADPE的周長(zhǎng)=2(AD+DP)=2(AD+BD)=2AB=2a；

故答案為：2a；

⑵當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形ADPE是菱形．

理由如下：連結(jié)AP，

∵PD∥AC，PE∥AB，

∴四邊形ADPE為平行四邊形，

∵AB=AC，P為BC中點(diǎn)，

∴∠PAD=∠PAE，

∵PE∥AB，

∴∠PAD=∠APE，

∴∠PAE=∠APE，

∴EA=EP，

∴四邊形ADPE是菱形；

⑶P運(yùn)動(dòng)到∠A的平分線上時(shí)，四邊形ADPE是菱形，

∵PD∥AC，PE∥AB，

∴四邊形ADPE是平行四邊形，

∵AP平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

∵AB∥EP，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AE=EP，

∴四邊形ADPE是菱形．