Question

18．如圖，二次函數(shù)y=x²-4x+3與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸的上方的拋物線(xiàn)圖象上，且∠PCB=∠OCA，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 由拋物線(xiàn)解析式求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，得出OA=1，OB=OC=3，設(shè)∠PCB=∠OCA=α，得出tanα=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{3}$，由兩角和的正切公式得出tan∠OCP=tan（45°+α）=2，作PD⊥y軸于D，設(shè)PD=x，則CD=$\frac{1}{2}$x，得出點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，3-$\frac{x}{2}$），再代入拋物線(xiàn)得出方程，解方程即可．

解答 解：∵二次函數(shù)y=x²-4x+3與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，
當(dāng)y=0時(shí)，x²-4x+3=0，
解得：x=1，或x=3，
∴A（1，0），B（3，0）；
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴C（0，3）；
∴OA=1，OB=OC=3，
∴∠OCB=45°，
設(shè)∠PCB=∠OCA=α，
則tanα=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠OCP=tan（45°+α）=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-1×\frac{1}{3}}$=2，
作PD⊥y軸于D，如圖所示：
設(shè)PD=x，則CD=$\frac{1}{2}$x，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，3-$\frac{x}{2}$）代入拋物線(xiàn)得：x²-4x+3=3-$\frac{x}{2}$，
解得：x=$\frac{7}{2}$，或x=0（不合題意，舍去），
∴3-$\frac{x}{2}$=$\frac{5}{4}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、兩角和的正切公式等知識(shí)；本題有一定難度，由兩角和的正切公式得出tan∠OCP=tan（45°+α）=2是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．