【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A(﹣1,0)、C(2,3)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)N,其頂點(diǎn)為D.
(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求△APC的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)M(3,n),求使MN+MD取最小值時(shí)n的值.
【答案】(1)y═﹣x2+2x+3,y=x+1;(2)P(,);(3).
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法,以及點(diǎn)A(﹣1,0)、C(2,3)即可求得二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式;
(2)過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q,交x軸于點(diǎn)H,設(shè)P(m,﹣m2+2m+3),,則點(diǎn)Q(m,m+1),則可求得線段PQ=﹣(m﹣)2+,最后由圖示以及三角形的面積公式表示出△APC 的面積,由二次函數(shù)最值的求法可知△APC的面積的最大值;
(3)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短過點(diǎn)N作與直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N′,連接DN′,,當(dāng)M(3,n)在直線DN′上時(shí),MN+MD的值最小.
(1)∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得:,
解得:b=2,c=3.
∴拋物線的解析式為y═﹣x2+2x+3.
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b.
∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得,解得k=1,b=1.
∴直線AC的解析式為y=x+1.
(2)如圖,
設(shè)點(diǎn)P(m,﹣m2+2m+3),
∴Q(m,m+1),
∴PQ=(﹣m2+2m+3)﹣(m+1)=﹣m2+m+2=﹣(m﹣)2+,
∴S△APC=PQ×|xC﹣xA|
= [﹣(m﹣)2+]×3=﹣(m﹣)2+,
∴當(dāng)m=時(shí),S△APC最大=,y=﹣m2+2m+3=,
∴P(,);
(3)如圖1所示,過點(diǎn)N作與直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N′,連接DN′,交直線x=3與點(diǎn)M.
∵當(dāng)x=0時(shí)y═3,
∴N(0,3).
∵點(diǎn)N與點(diǎn)N′關(guān)于x=3對(duì)稱,
∴N′(6,3).
∵y═﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴D(1,4).
設(shè)DN的解析式為y=kx+b.
將點(diǎn)N′與點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得:,
解得:k=﹣,b=.
∴直線DN′的解析式為y=﹣x+.
當(dāng)x=3時(shí),n=+=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,AD是BC邊上的中線,F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn).若AE=2,當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí),∠ECF的度數(shù)為( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 45°
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【題目】已知:如圖:在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC=5cm,等腰Rt△DEF中,∠FDE=,DE=3cm。動(dòng)點(diǎn)D、E始終在邊AB上,當(dāng)點(diǎn)D從A點(diǎn)沿AC方向移動(dòng)。
(1)在Rt△DEF沿AC方向移動(dòng)的過程中,F,C兩點(diǎn)之間的距離逐漸_______。(填“不變“變大”或“變小”)
(2)當(dāng)F、C連線與AB平行時(shí),求AD的長(zhǎng)。
(3)以線段AD、FC、BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形時(shí),求AD的長(zhǎng)
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【題目】如圖,已知拋物線和直線.我們約定:當(dāng)x任取一值時(shí),x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1、y2,若y1≠y2,取y1、y2中的較小值記為M;若y1=y2,記M= y1=y2.
下列判斷: ①當(dāng)x>2時(shí),M=y2;
②當(dāng)x<0時(shí),x值越大,M值越大;
③使得M大于4的x值不存在;
④若M=2,則x= 1 .
其中正確的有
A.1個(gè) B.2個(gè) C. 3個(gè) D.4個(gè)
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【題目】“十一”黃金周的某一天,小王全家上午8時(shí)自駕小汽車從家里出發(fā),到“番茄農(nóng)莊”游玩,小汽車離家的距離(千米)與小汽車離家后時(shí)間(時(shí))的關(guān)系可以用圖中的折線表示,根據(jù)圖像提供的有關(guān)信息,解答下列問題:
(1)“番茄農(nóng)莊”離家________千米;
(2)小王全家在“番茄農(nóng)莊”游玩了________小時(shí);
(3)去時(shí)小汽車的平均速度是________千米/小時(shí);
(4)回家時(shí)小汽車的平均速度是________千米/小時(shí).
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【題目】“歡樂跑中國(guó)重慶站”比賽前夕,小剛和小強(qiáng)相約晨練跑步.小剛比小強(qiáng)早1分鐘跑步出門,3分鐘后他們相遇.兩人寒暄2分鐘后,決定進(jìn)行跑步比賽.比賽時(shí)小剛的速度始終是180米/分,小強(qiáng)的速度是220米/分.比賽開始10分鐘后,因霧霾嚴(yán)重,小強(qiáng)突感身體不適,于是他按原路以出門時(shí)的速度返回,直到他們?cè)俅蜗嘤觯鐖D所示是小剛、小強(qiáng)之間的距離y(千米)與小剛跑步所用時(shí)間x(分鐘)之間的函數(shù)圖象.問小剛從家出發(fā)到他們?cè)俅蜗嘤鰰r(shí),一共用了__分鐘.
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【題目】如圖,已知BD、CE是△ABC的高,M是BC邊上的中點(diǎn),若△EMD是等腰直角三角形,則∠A=________°
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【題目】如圖(1),Rt△AOB中,∠A=90°,∠AOB=60°,OB=,∠AOB的平分線OC交AB于C,過O點(diǎn)做與OB垂直的直線ON.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BC﹣CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿折線CO﹣ON以相同的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).
(1)求OC、BC的長(zhǎng);
(2)設(shè)△CPQ的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)P在OC上Q在ON上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖(2),設(shè)PQ與OA交于點(diǎn)M,當(dāng)t為何值時(shí),△OPM為等腰三角形?求出所有滿足條件的t值.
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【題目】某高速鐵路工程指揮部,要對(duì)某路段工程進(jìn)行招標(biāo),接到了甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書.從投標(biāo)書中得知:甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)是乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)的:若由甲隊(duì)先做20天,剩下的工程再由甲、乙兩隊(duì)合作60天完成.
(1)求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天?
(2)已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為8.6萬元,乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為5.4萬元,工程預(yù)算的施工費(fèi)用為1000萬元.若在甲、乙工程隊(duì)工作效率不變的情況下使施工時(shí)間最短,問擬安排預(yù)算的施工費(fèi)用是否夠用?若不夠用,需追加預(yù)算多少萬元?
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