Question

（2012•寧德質(zhì)檢）在數(shù)學(xué)“綜合與實踐”課中，陳老師要求同學(xué)們制作一張直角梯形紙片ABCD，要求梯形的上底AD=3cm，下底BC=5cm．探索：當(dāng)直角梯形ABCD的高AB是多少厘米時，將該梯形沿某一直線剪成兩部分后，能拼成一個既不重疊又無空隙的特殊幾何圖形．
（1）如圖1，小穎過腰CD的中點E作EF⊥BC于F，沿EF將梯形剪切后，拼成正方形．求小穎所制作的直角梯形的高AB是多少厘米？
（2）如圖2，小亮過點B作BM⊥CD于M，沿BM將梯形剪切后，拼成直角三角形．請在答題卡的相應(yīng)位置補全拼后的一種直角三角形草圖，并求小亮所制作的直角梯形的高AB是多少厘米？
（3）探索當(dāng)直角梯形的高AB是多少厘米時，將該梯形沿某一直線剪成兩部分后，能拼成一個不是正方形的菱形．請在答題卡的相應(yīng)位置畫出兩種不同剪切、拼圖方法的草圖，并直接寫出原直角梯形的高AB．

Answer 1

分析：（1）由拼圖可知△DGE≌△CFE，若四邊形ABFG是正方形，設(shè)DG為x，AG=BF=AB，即3+x=5-x，求出x的值，由AB=AG即可得出結(jié)論；
（2）按如圖2方式拼接，由拼圖可知△GAD≌△BMC，由勾股定理可求出GA的長，由相似三角形的判定定理得出△GAD∽△GMB，故可得出

GD

GB

=

AD

MB

，即

5

GB

=

3

4

，求出GB的長，進而可得出AB的長；
（3）按如圖4方式拼接成一個菱形，過點D作DM⊥BC于點M，則AB=DM，由菱形的性質(zhì)得出CD的長，在Rt△DMC中利用勾股定理可求出DM的長，故可得出結(jié)論；按如圖5方式拼接成一個菱形，由AD=3cm，BC=5cm可設(shè)BM=x，則CM=5-x，ND=MN=3+x，四邊形NMCD是菱形可求出x的值，在Rt△OBM中利用勾股定理可求出OB的長，進而可得出AB的長．

解答：解：（1）∵由拼圖可知△DGE≌△CFE，由拼圖得，若四邊形ABFG是正方形，設(shè)DG為x，
∴AG=BF=AB，即3+x=5-x，
解得：x=1，
∴AB=AG=3+1=4；                   

（2）拼法1：按如圖2方式拼接，由拼圖可知△GAD≌△BMC，
解法一：∵GD=BC=5，由勾股定理可得：GA=

GD2-AD2

=

52-32

=4
∴BM=AG=4，
∵∠GAD=∠GMB=90°，∠G=∠G，
∴△GAD∽△GMB，
∴

GD

GB

=

AD

MB

，即

5

GB

=

3

4

，
解得：GB=

20

3

，
∴AB=

20

3

-4=

8

3

，
解法二：∵CM=AD=3，由勾股定理可得：BM=

BC2-CM2

=4，
作DE⊥BC于E，得EC=2，
∵∠BMC=∠DEC=90°，
∴tanC=

BM

CM

=

DE

EC

，
∴

4

3

=

DE

2

，
∴AB=DE=

8

3

．
拼法2：按如圖3方式拼接，
由拼圖可知，△HMD≌△BMC，
∴∠HMD+∠BMD=180°，∠HDM+∠ADC=180°，
∴點H是AD與BM延長線的交點，
則HD=BC=5，HM=BM，
∵∠HMD=∠A=90°，
由cosH=

AH

BH

=

MH

DH

，即

8

2MH

=

MH

5

，解得：HM=2

5

，
∴BH=2HM=4

5

，
由勾股定理可得：AB=

BH2-AH2

=

(4 5 )2-82

=4；

（3）按如圖4方式拼接成一個菱形，過點D作DM⊥BC于點M，則AB=DM，
則AD=3，BC=5，四邊形GHCF是菱形，
則CH=CF=8，
則MC=CB-AD=5-3=2，DC=2CF=16，
在Rt△DMC中，DM=

DC2-MC2

=

162-22

=6

7

，即梯形高AB=6

7

cm；             
按如圖5方式拼接成一個菱形，
∵AD=3，BC=5，
∴設(shè)BM=x，則CM=5-x，ND=MN=3+x，
∵四邊形NMCD是菱形，
∴CM=ND=MN，即5-x=3+x，解得x=1，
∴CM=MN=4，
∴OM=

1

2

MN=2，
在Rt△OBM中，OB=

OM2-BM2

=

22-12

=

3

，
∴AB=2OB=2

3

（cm），即梯形高為2

3

cm．

點評：本題考查的是相似三角形綜合題，涉及到菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角梯形的性質(zhì)等相關(guān)知識，涉及面較廣，難度較大．