Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)O不與A、C兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，直線MN與∠BCA的平分線相交于點(diǎn)E，與∠DCA（△ABC的外角）的平分線相交于點(diǎn)F．
（1）OE與OF相等嗎？為什么？
（2）探究：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．
（3）在（2）中，當(dāng)∠ACB等于多少時(shí)，四邊形AECF為正方形．（不要求說(shuō)理由）

Answer 1

分析：（1）角平分線到角兩邊的距離相等，再利用全等三角形即可求解．
（2）探究性問(wèn)題，歸根究底還是對(duì)矩形性質(zhì)的判定，再平行四邊形的基礎(chǔ)上，加上其對(duì)角線平分且相等即可．
（3）正方形的判定，在（2）的基礎(chǔ)上，即在矩形的基礎(chǔ)上補(bǔ)充對(duì)角線垂直即可．

解答：解：（1）如圖所示：作EG⊥BC，EJ⊥AC，F(xiàn)K⊥AC，F(xiàn)H⊥BC，
因?yàn)橹本�EC，CF分別平分∠ACB與∠ACD，所以EG=EJ，F(xiàn)K=FH，
在△EJO與△FKO中，

∠AOE=∠CON ∠EJO=∠FKO EJ=FK

，
所以△EJO≌△FKO，即OE=OF（3分）

（2）當(dāng)OA=OC，OE=OF時(shí)，四邊形AECF是矩形，
證明：∵OA=OC，OE=OF，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
又∵直線MN與∠BCA的平分線相交于點(diǎn)E，與∠DCA（△ABC的外角）的平分線相交于點(diǎn)F．
∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠FCD，
由∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠FCD=180°，
∴∠ECA+∠ACF=90°，即∠ECF=90°，
∴四邊形AECF為矩形；（3分）

（3）由（2）可知，四邊形AECF是矩形，要使其為正方形，再加上對(duì)角線垂直即可，即∠ACB=90°（10分）

點(diǎn)評(píng)：掌握角平分線到角兩邊距離相等，以及正方形，矩形的性質(zhì)及判定定理．