【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當x=3時,y有最小值﹣4,且圖象經(jīng)過點(﹣1,12).
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)該拋物線交x軸于點A,B(點A在點B的左側),交y軸于點C,在拋物線對稱軸上有一動點P,求PA+PC的最小值,并求當PA+PC取最小值時點P的坐標.
【答案】(1) y=x2﹣6x+5;(2) 當點P的坐標為(3,2)時,PA+PC取最小值,最小值為5.
【解析】
(1)由頂點坐標將二次函數(shù)的解析式設成y=a(x-3)2-4,由該函數(shù)圖象上一點的坐標,利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式;
(2)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A、B、C的坐標,由二次函數(shù)圖象的對稱性可得出連接BC交拋物線對稱軸于點P,此時PA+PC取最小值,最小值為BC,根據(jù)點B、C的坐標可求出直線BC的解析式及線段BC的長度,再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標,此題得解.
(1)∵當x=3時,y有最小值-4,
∴設二次函數(shù)解析式為y=a(x-3)2-4.
∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(-1,12),
∴12=16a-4,
∴a=1,
∴二次函數(shù)的解析式為y=(x-3)2-4=x2-6x+5.
(2)當y=0時,有x2-6x+5=0,
解得:x1=1,x2=5,
∴點A的坐標為(1,0),點B的坐標為(5,0);
當x=0時,y=x2-6x+5=5,
∴點C的坐標為(0,5).
連接BC交拋物線對稱軸于點P,此時PA+PC取最小值,最小值為BC,如圖所示.
設直線BC的解析式為y=mx+n(m≠0),
將B(5,0)、C(0,5)代入y=mx+n,得:
,解得:,
∴直線BC的解析式為y=-x+5.
∵B(5,0)、C(0,5),
∴BC=5.
∵當x=3時,y=-x+5=2,
∴當點P的坐標為(3,2)時,PA+PC取最小值,最小值為5.
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【題目】已知AB是⊙O的直徑,弦CD與AB相交,∠BCD=28°.
(I)如圖①,求∠ABD的大。
(Ⅱ)如圖②,過點D作⊙O的切線,與AB的延長線交于點P,若DP∥AC,求∠OCD的大小.
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【題目】如圖,在直角坐標系中,拋物線y=﹣(x+1)2+4與x軸交于點A、B,與y軸交于點C.
(1)寫出拋物線頂點D的坐標 ;
(2)點D1是點D關于y軸的對稱點,判斷點D1是否在直線AC上,并說明理由;
(3)若點E是拋物線上的點,且在直線AC的上方,過點E作EF⊥x軸交線段AC于點F,求線段EF的最大值.
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【題目】如圖,△ABC和△A′B′C是兩個完全重合的直角三角板,∠B=30°,斜邊長為10cm.三角板A′B′C繞直角頂點C順時針旋轉,當點A′落在AB邊上時,CA′旋轉所構成的扇形的弧長為 cm.
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【題目】如圖,有三張背面完全相同的紙牌A、B、C,其中正面分別畫有三種不同的幾何圖形,小華將這3張紙牌背面朝上洗勻后摸出一張,放回洗勻后再摸出一張,請你用畫樹狀圖或列表的方法,求摸出的兩張紙牌面上所畫幾何圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率.
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【題目】如圖,BC是路邊坡角為30°,長為10米的一道斜坡,在坡頂燈桿CD的頂端D處有一探射燈,射出的邊緣光線DA和DB與水平路面AB所成的夾角∠DAN和∠DBN分別是37°和60°(圖中的點A、B、C、D、M、N均在同一平面內(nèi),CM∥AN).
(1)求燈桿CD的高度;
(2)求AB的長度(結果精確到0.1米).(參考數(shù)據(jù):=1.73.sin37°≈060,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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【題目】如圖,已知AC∥BD,AB和CD相交于點E,AC=6,BD=4,F(xiàn)是BC上一點,S△BEF:S△EFC=2:3.
(1)求EF的長;
(2)如果△BEF的面積為4,求△ABC的面積.
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【題目】如圖1,2分別是某款籃球架的實物圖與示意圖,已知底座BC=0.60米,底座BC與支架AC所成的角∠ACB=75°,支架AF的長為2.50米,籃板頂端F點到籃框D的距離FD=1.35米,籃板底部支架HE與支架AF所成的角∠FHE=60°,求籃框D到地面的距離(精確到0.01米)(參考數(shù)據(jù):cos75°≈0.2588,sin75°≈0.9659,tan75°≈3.732,≈1.732,≈1.414)
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【題目】如圖所示,在⊙O中,,弦CD與弦AB交于點F,連接BC,若∠ACD=60°,⊙O的半徑長為2cm.
(1)求∠B的度數(shù)及圓心O到弦AC的距離;
(2)求圖中陰影部分面積.
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