Question

【題目】如圖，中，，，點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)，及中點(diǎn)重合)，連接，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，直線，交于點(diǎn).

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整，并直接寫出的度數(shù)；

（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）作AH⊥CD延長于H，延長AH到E，使AH=HE，連接BE并延長BE，交CD延長線于F，可證明CF是AE的中垂線，即可得點(diǎn)E是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，根據(jù)中垂線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)即可求出∠BFC的度數(shù)；（2）由點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)可得，即可證明，，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，由通過等量代換可知，在和Rt△ABC中，利用勾股定理即可證明結(jié)論.

（1）如圖：過點(diǎn)A作AH⊥CD延長于H，延長AH到E，使AH=HE，連接BE并延長BE，交CD延長線于F，

連接CE，

∵AH=EH，CH⊥AE，

∴CF是AE的中垂線，

∴點(diǎn)E是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，

∴圖形即為所求.

∵CF是AE的中垂線，

∴AC=CE，

∵∠ACD=15°，

∴∠ACE=30°，∠FCE=15°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB=60°，

∵AC=BC，

∴CE=BC，

∴∠CEB=60°，

∴∠BFC=∠CEB-∠FCE=60°-15°=45°.

（2）猜想：.

證明：連接，，延長，交于點(diǎn)，

∵點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，

∴.

∴，，.

∵，

∴.

∴.

∴.

∵，

∴.

∴.

∴.

在中，.

∵在中，，

∴.

∴.