Question

【題目】平面直角坐標系中，有A、B、C三點，其中A為原點，點B和點C的坐標分別為（5,0）和（1,2）.

（1）證明：△ABC為RT△；

（2）請你在直角坐標系中找一點D，使得△ABC與△ABD相似，寫出所有滿足條件的點D的坐標，并在同一坐標系中畫出所有符合要求的三角形；

（3）在第（2）題所作的圖中，連接任意兩個直角三角形（包括△ABC）的直角頂點均可得到一條線段，在連接兩點所得的所有線段中任取一條線段，求取到長度為無理數(shù)的線段的概率.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）D1（1，-2）；D2（4，-1），D3（4，1）；D4（5，-10），D5（5，10）；D6（5，-2.5），D7（5，2.5）；D8（0，-10），D9（0，10）；D10（0，-2.5），D11（0，2.5）；作圖見解析；（3）p=.

【解析】

試題分析：本題主要考查了勾股定理及其逆定理、相似三角形的性質(zhì)、概率公式等知識，運用分類討論的思想是解決第（2）小題的關(guān)鍵．

（1）過點C作CH⊥x軸于H，如圖1，只需運用勾股定理求出AB2、AC2、BC2，然后運用勾股定理的逆定理就可解決問題；

（2）△ABC與△ABD相似，對應(yīng)關(guān)系不確定，故需分六種情況（①若△ABC∽△ABD，②若△ABC∽△BAD，③若△ABC∽△ADB，④若△ABC∽△DAB，⑤若△ABC∽△BDA，⑥若△ABC∽△DBA）討論，然后運用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題；

（3）圖中的直角三角形的直角頂點有A、B、C、D1、D2、D3，只需求出任意兩直角頂點的連線段的條數(shù)和長度為無理數(shù)的線段的條數(shù)，就可解決問題．

試題解析：（1）過點C作CH⊥x軸于H，如圖1，

∵A（0，0），B（5，0），C（1，2），

∴AC=，BC=2，AB=5，

∴AB2=AC2+BC2，

∴△ABC為RT△；

；

（2）①若△ABC∽△ABD，則有D1（1，-2）；

②若△ABC∽△BAD，則有D2（4，-1），D3（4，1）；

③若△ABC∽△ADB，則有D4（5，-10），D5（5，10）；

④若△ABC∽△DAB，則有D6（5，-2.5），D7（5，2.5）；

⑤若△ABC∽△BDA，則有D8（0，-10），D9（0，10）；

⑥若△ABC∽△DBA，則有D10（0，-2.5），D11（0，2.5）；

所有符合要求的三角形如圖2所示：

；

（3）圖中的直角三角形的直角頂點有A、B、C、D1、D2、D3．

任意兩直角頂點的連線段共有6×52=15條，

其中AB=5，CD1=D2D3=4，CD2=D1D3=5，CD3=D1D2=3，

故長度為有理數(shù)的線段共7條，長度為無理數(shù)的線段共8條，

則取到長度為無理數(shù)的線段的概率為p=．