Question

閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如：3＋2＝(1＋)²，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：
設(shè)a＋b＝(m＋n)²(其中a、b、m、n均為整數(shù))，則有a＋b＝m²＋2n²＋2mn.
∴a＝m²＋2n²，b＝2mn.這樣小明就找到了一種把部分a＋b的式子化為平方式的方法．
請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：
(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a＋b＝(m＋n)²，用含m、n的式子分別表示a、b，得a＝________，b＝________；
(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n，填空：________＋________＝(______＋______)²；
(3)若a＋4＝(m＋n)²，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值．

Answer 1

(1)a＝m²＋3n²　b＝2mn
(2)4，2，1，1(答案不唯一)
(3)a＝13或7

(1)將(m＋n)²展開(kāi)得m²＋2n²＋2mn，因?yàn)閍＋b＝(m＋n)²，所以a＋b＝m²＋3n²＋2mn，根據(jù)恒等可判定a＝m²＋3n²，b＝2mn；(2)根據(jù)(1)中a、b和m、n的關(guān)系式，取的值滿(mǎn)足a＝m²＋3n²，b＝2mn即可．(3)將(m＋n)²展開(kāi)，由(1)可知a、m、n滿(mǎn)足再利用a、m、n均為正整數(shù)，2mn＝4，判斷出m、n的值，分類(lèi)討論，得出a值．
解：根據(jù)題意得，
∵2mn＝4，且m、n為正整數(shù)，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
∴a＝13或7.