Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒lcm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜6），過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F．

（I）試用含t的式子表示AE、AD、DF的長；

（Ⅱ）如圖①，連接EF，求證：四邊形AEFD是平行四邊形；

（Ⅲ）如圖②，連接DE，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形EBFD是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（I）AE=t，AD=12-2t，DF=t；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）當(dāng)t=3時(shí)，四邊形EBFD是矩形

【解析】

（I）根據(jù)題意用含t的式子表示AE、CD，結(jié)合圖形表示出AD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)表示出DF；

（Ⅱ）根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；

（Ⅲ）根據(jù)矩形的定義列出方程，解方程即可．

（I）由題意得，AE=t，CD=2t，

則AD=AC-CD=12-2t，

∵DF⊥BC，∠C=30°，

∴DF= CD=t；

（Ⅱ）∵∠ABC=90°，DF⊥BC，

∴AB∥DF，

∵AE=t，DF=t，

∴AE=DF，

∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（Ⅲ）當(dāng)t=3時(shí)，四邊形EBFD是矩形，

理由如下：∵∠ABC=90°，∠C=30°，

∴BC=AC=6cm，

∵BE∥DF，

∴BE=DF時(shí)，四邊形EBFD是平行四邊形，即6-t=t，

解得，t=3，

∵∠ABC=90°，

∴四邊形EBFD是矩形，

∴t=3時(shí)，四邊形EBFD是矩形．