Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，△AOB為等腰三角形，且OA=OB，過點(diǎn)B作y軸的垂線，垂足為D，直線AB的解析式為y=-3x+30，點(diǎn)C在線段BD上，點(diǎn)D關(guān)于直線OC的對(duì)稱點(diǎn)在腰OB上．
（1）求點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P沿折線BC-OC以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)△PQC的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，連接PQ，設(shè)PQ與OB所成的銳角為α，當(dāng)α=90°-∠AOB時(shí)，求t值．（參考數(shù)據(jù)：在（3）中，

5

取

11

5

．）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，可以把點(diǎn)B的坐標(biāo)設(shè)出來，利用直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可以求出A點(diǎn)坐標(biāo)，求出OA的長(zhǎng)度，從而求出AB，根據(jù)勾股定理可以求出B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)P、Q在運(yùn)動(dòng)中，分為P點(diǎn)在BC、OC上兩種情況的面積，利用三角形相似可以用t的式子表示出△PQC的面積．
（3）在運(yùn)動(dòng)中當(dāng)α=90°-∠AOB時(shí)，則有PQ⊥OB，PQ⊥OC兩種情況，利用解直角三角形的銳角三角函數(shù)值三角形相似求出相應(yīng)的t的值．

解答：解：（1）由題可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，-3a+30），作BG⊥OA于G
在Rt△OBG中，由勾股定理可得：a²+（-3a+30）²=10²
解得：a₁=10，a₂=8
當(dāng)a=10時(shí)，-3a+30=0，（與A點(diǎn)重合，不符合題意舍去）
當(dāng)a=8時(shí)，-3a+30=6
∴B（8，6）；

（2）①當(dāng)0≤t＜5時(shí)，如圖1所示；
過點(diǎn)C作CF⊥OB于F，則△OCD≌△OCF．
在Rt△BCF中，由勾股定理可得：CF=3，BC=5
即OF=OD=6，CF=CD．
過點(diǎn)Q作QN⊥BD于N，則QN∥OD，∴△BQN∽△BDO，
∴

QN

OD

=

BQ

OB

即

QN

6

=

10-t

10

∴QN=6-

3

5

t，…1′
∴S=

1

2

(6-

3

5

t)•(5-t)即S=

3

10

t2-

9

2

t+15…1′
②當(dāng)5＜t≤10時(shí)，如圖2所示；
過點(diǎn)Q作QM⊥OC于M，∵COQ=∠COD，∠CDO=∠QMO=90°，
∴△QMO∽△COD，∴

QM

CD

=

OQ

OC

即

QM

3

=

t

32+62

∴QM=

5

5

t，…1′
∴S=

1

2

×

5

5

t•(t-5)即S=

5

10

t2-

5

2

t…1′
（3）①當(dāng)0≤t＜5時(shí)，如圖3所示：
∵α=90°-∠AOB=∠BOD，即∠PQB=∠DOB，sin∠PQB=sin∠DOB
∴

BP

QB

=

BD

OB

即

t

10-t

=

8

10

∴t=

40

9

②當(dāng)5＜t≤10時(shí)，如圖4所示；
過點(diǎn)P作PH⊥OB于H．
∵tan∠POB=

1

2

，tan∠PQO=

4

3

，
∴可設(shè)PH=4k，QM=3k，則OH=8k，由勾股定理可求得OP=4

5

k
∴11k=t，k=

t

11

，∴OP=4

5

k=

4 5 t

11

，
又∵OP=5+3

5

-t
即5+3

5

-t=

4 5 t

11

（

5

=

11

5

），
∴t=

58

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求點(diǎn)的坐標(biāo)，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的運(yùn)用，相似三角形的運(yùn)用以及銳角三角函數(shù)值．動(dòng)點(diǎn)問題的解題的關(guān)鍵是動(dòng)中找靜止時(shí)的圖象特征求解．任何運(yùn)動(dòng)的圖象在任何一瞬間都是靜止的．