(2012•黔東南州)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,圓心O在AB上,過點(diǎn)B作⊙O的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.
(1)求證:△ABC∽△BDC.
(2)若AC=8,BC=6,求△BDC的面積.
分析:(1)由AB是⊙O的直徑,可得∠ACB=∠BCD=90°,又由BD是⊙O的切線,根據(jù)同角的余角相等,可得∠A=∠CBD,利用有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似,即可證得△ABC∽△BDC;
(2)由AC=8,BC=6,可求得△ABC的面積,又由△ABC∽△BDC,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方,即可求得△BDC的面積.
解答:(1)證明:∵BD是⊙O的切線,
∴AB⊥BD,
∴∠ABD=90°,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=∠BCD=90°,
∴∠A+∠D=90°,∠CBD+∠D=90°,
∴∠A=∠CBD,
∴△ABC∽△BDC;

(2)解:∵△ABC∽△BDC,
S△ABC
S△BDC
=(
AC
BC
)
2
,
∵AC=8,BC=6,
∴S△ABC=
1
2
AC•BC=
1
2
×8×6=24,
∴S△BDC=S△ABC÷(
AC
BC
)
2
=24÷(
8
6
2=
27
2
點(diǎn)評(píng):此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì).此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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1
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(1)計(jì)算由x、y確定的點(diǎn)(x,y)在函數(shù)y=-x+5的圖象上的概率.
(2)小明和小紅約定做一個(gè)游戲,其規(guī)則為:若x、y滿足xy>6則小明勝,若x、y滿足xy<6則小紅勝,這個(gè)游戲公平嗎?說明理由.若不公平,請(qǐng)寫出公平的游戲規(guī)則.

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