【題目】已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,CD為∠ACB的平分線,將∠ACB沿CD所在的直線對折,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處,連結(jié)AB',BB',延長CD交BB'于點(diǎn)E,設(shè)∠ABC=2α(0°<α<45°).
(1)如圖1,若AB=AC,求證:CD=2BE;
(2)如圖2,若AB≠AC,試求CD與BE的數(shù)量關(guān)系(用含α的式子表示);
(3)如圖3,將(2)中的線段BC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(α+45°),得到線段FC,連結(jié)EF交BC于點(diǎn)O,設(shè)△COE的面積為S1,△COF的面積為S2,求(用含α的式子表示).
【答案】(1)證明見解析;(2)CD=2BEtan2α;(3)sin(45°﹣α).
【解析】
(1)由翻折可知:BE=EB′,再利用全等三角形的性質(zhì)證明CD=BB′即可;
(2) 如圖 2 中, 結(jié)論:CD=2BEtan2α.只要證明△BAB′∽△CAD,可得,推出,可得CD=2BEtan2α;
(3) 首先證明∠ECF=90°,由∠BEC+∠ECF=180°,推出BB′∥CF,推出sin(45°﹣α),由此即可解決問題.
(1)如圖1中,
∵B、B′關(guān)于EC對稱,
∴BB′⊥EC,BE=EB′,
∴∠DEB=∠DAC=90°,
∵∠EDB=∠ADC,
∴∠DBE=∠ACD,
∵AB=AC,∠BAB′=∠DAC=90°,
∴△BAB′≌CAD,
∴CD=BB′=2BE;
(2)如圖2中,結(jié)論:CD=2BEtan2α,
理由:由(1)可知:∠ABB′=∠ACD,∠BAB′=∠CAD=90°,
∴△BAB′∽△CAD,
∴,
∴,
∴CD=2BEtan2α;
(3)如圖 3中.在Rt△ABC中,∠ACB=90°﹣2α,
∵EC平分∠ACB,
∴∠ECB(90°﹣2α)=45°﹣α,
∵∠BCF=45°+α,
∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°,
∴∠BEC+∠ECF=180°,
∴BB′∥CF,
∴sin(45°﹣α).
∵,
∴sin(45°﹣α).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明和小亮玩一個(gè)游戲:三張大小、質(zhì)地都相同的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,3,4(背面完全相同),現(xiàn)將標(biāo)有數(shù)字的一面朝下.小明從中任意抽取一張,記下數(shù)字后放回洗勻,然后小亮從中任意抽取一張,計(jì)算小明和小亮抽得的兩個(gè)數(shù)字之和.若和為奇數(shù),則小明勝;若和為偶數(shù),則小亮勝.
(1)請你用畫樹狀圖或列表的方法,求出這兩數(shù)和為6的概率.
(2)你認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則對雙方公平嗎?說說你的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)與x軸交于A,B兩點(diǎn),頂點(diǎn)P(m,n).給出下列結(jié)論:①2a+c<0;②若(﹣,y1),(﹣,y2),(,y3)在拋物線上,則y1>y2>y3;③關(guān)于x的方程ax2+bx+k=0有實(shí)數(shù)解,則k>c﹣n;④當(dāng)n=﹣時(shí),△ABP為等腰直角三角形.其中正確結(jié)論是______(填寫序號).
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【題目】如圖,正方形ABCD中,E,F分別在邊AD,CD上,AF,BE相交于點(diǎn)G,若AE=3ED,DF=CF,則的值是
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以AB為直徑的⊙O與CE相切于點(diǎn)C,CE交AB的延長線于點(diǎn)E,直徑AB=18,∠A=30°,弦CD⊥AB,垂足為點(diǎn)F,連接AC,OC,則下列結(jié)論正確的是______.(寫出所有正確結(jié)論的序號)
①;
②扇形OBC的面積為π;
③△OCF∽△OEC;
④若點(diǎn)P為線段OA上一動(dòng)點(diǎn),則APOP有最大值20.25.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的對稱軸為.點(diǎn)在直線上.
(1)求, 的值;
(2)若點(diǎn)在二次函數(shù)上,求的值;
(3)當(dāng)二次函數(shù)與直線相交于兩點(diǎn)時(shí),設(shè)左側(cè)的交點(diǎn)為,若,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與 x 軸交于點(diǎn) A(﹣1,0),對稱軸為直線 x=1,與 y 軸的交點(diǎn) B 在(0,2)和(0,3)之間(包括這兩點(diǎn)),下列結(jié)論正確的是_______________.
①當(dāng) x>3 時(shí),y<0;②3a+b<0;③﹣1≤a≤﹣;④4ac﹣b2<8a.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,將一個(gè)量角器與一張等邊三角形(△ABC)紙片放置成軸對稱圖形,CD⊥AB,垂足為D,半圓(量角器)的圓心與點(diǎn)D重合,此時(shí),測得頂點(diǎn)C到量角器最高點(diǎn)的距離CE=2cm,將量角器沿DC方向平移1cm,半圓(量角器)恰與△ABC的邊AC,BC相切,如圖2,則AB的長為__________cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一天,小華和小夏玩擲骰子游戲,他們約定:他們用同一枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次, 如果兩次擲的骰子的點(diǎn)數(shù)相同則小華獲勝:如果兩次擲的骰子的點(diǎn)數(shù)的和是6則小夏獲勝.
(1)請您列表或畫樹狀圖列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)請你判斷這個(gè)游戲?qū)λ麄兪欠窆讲⒄f明理由.
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