Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn), 交拋物線于點(diǎn)．連接，是線段的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接，當(dāng)為何值時(shí)，面積有最大值，最大值是多少？

（3）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)落在拋物線上．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，面積的最大值為16；（3）

【解析】

（1）用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）先用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，然后根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出Q,D的坐標(biāo)，進(jìn)一步表示出QD的長(zhǎng)度，從而利用面積公式表示出的面積，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可；

（3）分別過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為，首先證明≌，得到，然后得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出t的值，注意t的取值范圍．

（1）∵拋物線過(guò)點(diǎn)，

∴解得

所以拋物線的解析式為： ；

（2）設(shè)直線AB的解析式為 ，

將代入解析式中得,

解得

∴直線AB解析式為 ．

∵，

，

∴，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，面積的最大值為16 ；

（3）分別過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為，

．

在和中， ，

∴≌，

∴．

∵，

．

當(dāng)點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，.

∴,

，

∴ ．