【題目】已知△ABC中,AB=AC=BC=6.點(diǎn)P射線BA上一點(diǎn),點(diǎn)Q是AC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且BP=CQ,連接PQ,與直線BC相交于點(diǎn)D.
(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí),求CD的長(zhǎng);
(2)如圖②,過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線,垂足為E,當(dāng)點(diǎn)P,Q分別在射線BA和AC的延長(zhǎng)線上任意地移動(dòng)過(guò)程中,線段BE,DE,CD中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)CD=;(2)線段DE的長(zhǎng)度保持不變,理由見(jiàn)解析.
【解析】(1)過(guò)P點(diǎn)作PF∥AC交BC于F,即可構(gòu)成小等邊三角形BPF,再證明△PFD≌△QCD即可求解;
(2)根據(jù)(1)分兩種情況:點(diǎn)P在線段AB上時(shí),點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)分別求解即可得出結(jié)論.
解:(1)過(guò)P點(diǎn)作PF∥AC交BC于F,
∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn),∴BP=A B=3,
∵AB=AC=BC ,∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°,
∵PF∥AC,∴∠PFB=∠ACB=60°,∠BPF=∠BAC=60°,
∴△PBF是等邊三角形,
∴BF=FP=BP=3,∴FC=BC-BF=3,
由題意,BP=CQ,∴FP=CQ,
∵PF∥AC,∴∠DPF=∠DQC,
又∠PDF=∠QDC,∴△PFD≌△QCD,
∴CD=DF= FC= ;
(2)當(dāng)點(diǎn)P,Q在移動(dòng)的過(guò)程中,線段DE的長(zhǎng)度保持不變,
分兩種情況討論:
①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),
過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F,由(1)知PB=PF,
∵PE⊥BC,∴BE=EF,
由(1)知△PFD≌△QCD,CD=DF,
∴DE=EF+DF= BC=3,
②當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上時(shí),同理可得DE=3,
∴當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過(guò)程中,線段DE的長(zhǎng)度保持不變.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】做如下操作:在等腰三角形ABC中,AB= AC,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)D.將△ABD作關(guān)于直線AD的軸對(duì)稱變換,所得的象與△ACD重合.
對(duì)于下列結(jié)論:①在同一個(gè)三角形中,等角對(duì)等邊;②在同一個(gè)三角形中,等邊對(duì)等角;
③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合.
由上述操作可得出的是 ▲ (將正確結(jié)論的序號(hào)都填上).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,BE⊥AC于E,且D、E分別是AB、AC的中點(diǎn).延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F,使CF=CE.
(1)求∠ABC的度數(shù);
(2)求證:BE=FE;
(3)若AB=2,求△CEF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC中,AD是BC邊上的高,BD=3,CD=1,AD=2,P、Q、R分別是BC、AB、AC邊上的動(dòng)點(diǎn),則△PQR周長(zhǎng)的最小值為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】嘉淇準(zhǔn)備完成題目:化簡(jiǎn):,發(fā)現(xiàn)系數(shù)“”印刷不清楚.
(1)他把“”猜成3,請(qǐng)你化簡(jiǎn):(3x2+6x+8)–(6x+5x2+2);
(2)他媽媽說(shuō):“你猜錯(cuò)了,我看到該題標(biāo)準(zhǔn)答案的結(jié)果是常數(shù).”通過(guò)計(jì)算說(shuō)明原題中“”是幾?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于C(0,﹣3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)D是y軸正半軸上的點(diǎn),OD=3,在線段BD上任取一點(diǎn)E(不與B,D重合),經(jīng)過(guò)A,B,E三點(diǎn)的圓交直線BC于點(diǎn)F,
①試說(shuō)明EF是圓的直徑;
②判斷△AEF的形狀,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AC=BC=10 cm,AB=12 cm,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),連結(jié)CD,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→C→B的路徑運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)停止,速度為每秒2 cm,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.
(1)求CD的長(zhǎng);
(2)當(dāng)為何值時(shí),△ADP是直角三角形?
(3)直接寫出:當(dāng)為何值時(shí),△ADP是等腰三角形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn),△OAB的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0)、A(1,3)、B(5,0).
(1)請(qǐng)畫出與△OAB關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△OCD;(其中A的對(duì)稱點(diǎn)為C,B的對(duì)稱點(diǎn)為D)
(2)在(1)的條件下,連接BC、DA,請(qǐng)畫出一條直線MN(不與直線AC和坐標(biāo)軸重合),將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分,其中M、N分別在AD和BC上,且M、N均為格點(diǎn),并直接寫出直線MN的解析式(寫出一個(gè)即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知∠AOB=100°,∠COD=40°,OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.(本題中的角均為大于0°且小于等于180°的角).
(1)如圖1,當(dāng)OB、OC重合時(shí),求∠EOF的度數(shù);
(2)當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°(0<n<90)時(shí),∠AOE﹣∠BOF的值是否為定值?若是定值,求出∠AOE﹣∠BOF的值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°(0<n<180)時(shí),滿足∠AOD+∠EOF=6∠COD,則n=__________.
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