Question

如圖，直線y=-

3

3

 x+1和x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，以線段AB為邊在第一象限作等邊三角形ABC，且在第一象限內(nèi)有點(diǎn)P（m，

1

2

），使△ABP的面積與△ABC的面積相等，求m的值．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，令直線方程中x與y分別為0，求出相應(yīng)的y與x的值，確定出點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)即為等邊三角形的邊長(zhǎng)，求出等邊三角形的高即為點(diǎn)C到直線AB的距離，由△ABP和△ABC的面積相等，得到點(diǎn)C與點(diǎn)P到直線AB的距離相等，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出點(diǎn)P到直線AB的距離d，讓d等于求出的高列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
由直線 y=-

3

3

x+1，令x=0，解得y=1，
故點(diǎn)B（0，1），
令y=0，解得x=

3

，
故點(diǎn)A（

3

，0），
∵△ABC為等邊三角形，且OA=

3

，OB=1，
根據(jù)勾股定理得：AB=2，即等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，
故過(guò)C作AB邊上的高為2×

3

2

=

3

，即點(diǎn)C到直線AB的距離為

3

，
由題意△ABP和△ABC的面積相等，
則P到直線AB的距離d=

3

2

|-

3

3

m+

1

2

|=

3

，
即-

3

3

m+

1

2

=2或-

3

3

m+

1

2

=-2，
解得：m=-

3 3

2

（舍去）或m=

5 3

2

．
則m的值為

5 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離公式．學(xué)生做題時(shí)注意采用數(shù)形結(jié)合的思想及轉(zhuǎn)化的思想的運(yùn)用，在求出m的值后要根據(jù)點(diǎn)P在第一象限舍去不合題意的解．