Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線AB相交于A，B兩點(diǎn)，其中，．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，求面積的最大值；

（3）將該拋物線向右平移2個(gè)單位長度得到拋物線，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為原拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）面積最大值為；（3）存在，

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（2）設(shè)，求得解析式，過點(diǎn)P作x軸得垂線與直線AB交于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)，則，，即可求解；

（3）分BC為菱形的邊、菱形的的對角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）∵拋物線過，

∴

∴

∴

（2）設(shè)，將點(diǎn)代入

∴

過點(diǎn)P作x軸得垂線與直線AB交于點(diǎn)F

設(shè)點(diǎn)，則

由鉛垂定理可得

∴面積最大值為

（3）（3）拋物線的表達(dá)式為：y＝x2＋4x1＝（x＋2）25，

則平移后的拋物線表達(dá)式為：y＝x25，

聯(lián)立上述兩式并解得：，故點(diǎn)C（1，4）；

設(shè)點(diǎn)D（2，m）、點(diǎn)E（s，t），而點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（0，1）、（1，4）；

①當(dāng)BC為菱形的邊時(shí)，

點(diǎn)C向右平移1個(gè)單位向上平移3個(gè)單位得到B，同樣D（E）向右平移1個(gè)單位向上平移3個(gè)單位得到E（D），

即2＋1＝s且m＋3＝t①或21＝s且m3＝t②，

當(dāng)點(diǎn)D在E的下方時(shí)，則BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，

當(dāng)點(diǎn)D在E的上方時(shí)，則BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，

聯(lián)立①③并解得：s＝1，t＝2或4（舍去4），故點(diǎn)E（1，2）；

聯(lián)立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故點(diǎn)E（-3，-4＋）或（-3，-4）；

②當(dāng)BC為菱形的的對角線時(shí)，

則由中點(diǎn)公式得：1＝s2且41＝m＋t⑤，

此時(shí)，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，

聯(lián)立⑤⑥并解得：s＝1，t＝3，

故點(diǎn)E（1，3），

綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（1，2）或或或（1，3）．

∴存在，