已知拋物線y=（1-m）x2+4x-3開口向下，與x軸交于A（x1，0）和B（x2，0）兩點(diǎn)，其中x1＜x2．
（1）求m的取值范圍；
（2）若x12+x22=10，求拋物線的解析式，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出這條拋物線；
（3）設(shè)這條拋物線的頂點(diǎn)為C，延長(zhǎng)CA交y軸于點(diǎn)D．在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（1）
1-m＜0，①
42-4(1-m)×(-3)＞0，②

由①式得：m＞1；
由②式得：m＜
7
3

∴1＜m＜
7
3
；

（2）依題意有：x1+x2=
4
m-1
，x1x2=
3
m-1
，又x12+x22=10
∴（x1+x2）2-2x1x2=10
∴
16
(m-1)2
-
6
m-1
=10
化簡(jiǎn)得：[5（m-1）+8][（m-1）-1]=0
∴m=-
3
5
，m=2
由（1）值：m=-
3
5
應(yīng)舍去，
∴m=2．
∴拋物線的解析式為y=-x2+4x-3；

（3）將拋物線配方得：y=-（x-2）2+1，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
與x軸交點(diǎn)為（1，0）（3，0），
與y軸交點(diǎn)為（0，-3），
可畫出拋物線的示意圖（如圖）
∵A（1，0），B（3，0），C（2，1）
∴△ABC為等腰直角三角形，即∠BCD=90°
又∵直線AC與y軸交于點(diǎn)D
∴D（0，-1），
易得：BC=
2
，CD=2
2

依題意，設(shè)點(diǎn)P（0，y）
若△POB∽△BCD
則
OP
BC
=
OB
CD
或
OB
BC
=
OP
CD

∴
|y|
2
=
3
2
2
或
3
2
=
|y|
2
2

∴|y|=
3
2
或|y|=6
∴y=±
3
2
或y=±6．
∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，
3
2
）（0，-
3
2
）（0，6）（0，-6）時(shí)，可使△POB∽△BCD．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知如圖，矩形OABC的長(zhǎng)OA=
3
，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）填空：∠PCB=______度，P點(diǎn)坐標(biāo)為______；
（2）若P，A兩點(diǎn)在拋物線y=-
4
3
x2+bx+c上，求b，c的值，并說(shuō)明點(diǎn)C在此拋物線上；
（3）在（2）中的拋物線CP段（不包括C，P點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形MCAP的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，一次函數(shù)y=kx+n的圖象與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A（6，0）和B（0，2
3
），線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．
（1）試確定這個(gè)一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，以原點(diǎn)為圓心的⊙O的半徑是
4
5
5
，過A（0，4）作⊙O的切線交x軸于點(diǎn)B，T是切點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為C（3，-
1
2
），且拋物線過A、B兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如果此拋物線的對(duì)稱軸交x軸于D點(diǎn)，問在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使△BCD∽△OPB？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸交于另一點(diǎn)N，直線y=kx+4與兩坐標(biāo)軸分別交于A、D兩點(diǎn)，與拋物線交于B（1，m）、C（2，2）兩點(diǎn)．
（1）求直線與拋物線的解析式；
（2）若拋物線在x軸上方的部分有一動(dòng)點(diǎn)P（x，y），設(shè)∠PON=α，求當(dāng)△PON的面積最大時(shí)tanα的值；
（3）若動(dòng)點(diǎn)P保持（2）中的運(yùn)動(dòng)路線，問是否存在點(diǎn)P，使得△POA的面積等于△PON面積的
8
15
？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=x2+bx-a2．
（1）請(qǐng)你選定a、b適當(dāng)?shù)闹担缓髮懗鲞@條拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，并畫出過三個(gè)交點(diǎn)的圓；
（2）試討論此拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別是1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)時(shí)，a、b的取值范圍，并且求出交點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P為函數(shù)y=
1
4
x2在第一象限內(nèi)的圖象上的任一點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），直線l過B（0，-1）且與x軸平行，過P作y軸的平行線分別交x軸，l于C，Q，連接AQ交x軸于H，直線PH交y軸于R．
（1）求證：H點(diǎn)為線段AQ的中點(diǎn)；
（2）求證：①四邊形APQR為平行四邊形；②平行四邊形APQR為菱形；
（3）除P點(diǎn)外，直線PH與拋物線y=
1
4
x2有無(wú)其它公共點(diǎn)并說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，李明在政府的扶持下投資銷售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=-10x+500．
（1）設(shè)李明每月獲得利潤(rùn)為w（元），當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？
（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤(rùn)，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
（3）根據(jù)物價(jià)部門規(guī)定，這種護(hù)眼臺(tái)燈的銷售單價(jià)不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤(rùn)不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本=進(jìn)價(jià)×銷售量）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

王亮同學(xué)善于改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，他發(fā)現(xiàn)對(duì)解題過程進(jìn)行回顧反思，效果會(huì)更好．某一天他利用30分鐘時(shí)間進(jìn)行自主學(xué)習(xí)．假設(shè)他用于解題的時(shí)間x（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益量y的關(guān)系如圖甲所示，用于回顧反思的時(shí)間x（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益量y的關(guān)系如圖乙所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點(diǎn)），且用于回顧反思的時(shí)間不超過用于解題的時(shí)間．

（1）求王亮解題的學(xué)習(xí)收益量y與用于解題的時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）求王亮回顧反思的學(xué)習(xí)收益量y與用于回顧反思的時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）王亮如何分配解題和回顧反思的時(shí)間，才能使這30分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大？
（學(xué)習(xí)收益總量=解題的學(xué)習(xí)收益量+回顧反思的學(xué)習(xí)收益量）

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