【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3(a≠0)的頂點(diǎn)為E,該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且BO=OC=3AO,直線y=﹣x+1與y軸交于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的解析式;

(2)證明:△DBO∽△EBC;

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△PBC是等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=x22x3;(2)詳見解析;(3)符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為P(1,1)或P(1,)或P(1,)或P(1,3+)或P(1,3).

【解析】

試題分析:(1)先求出點(diǎn)C的坐標(biāo),在由BO=OC=3AO,確定出點(diǎn)B,A的坐標(biāo),最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)先求出點(diǎn)A,B,C,D,E的坐標(biāo),從而求出BC=3,BE=2,CE=,OD=1,OB=3,BD=,求出比值,得到得出結(jié)論;(3)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),表示出PB,PC,求出BC,分三種情況計(jì)算即可.

試題解析:(1)拋物線y=ax2+bx3,

c=3,

C(0,3),

OC=3,

BO=OC=3AO,

BO=3,AO=1,

B(3,0),A(1,0),

該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),

,

拋物線解析式為y=x22x3,

(2)由(1)知,拋物線解析式為y=x22x3=(x1)24,

E(1,4),

B(3,0),A(1,0),C(0,3),

BC=3,BE=2,CE=

直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)D,

D(0,1),

B(3,0),

OD=1,OB=3,BD=,

,

,

∴△BCE∽△BDO,

(3)存在,

理由:設(shè)P(1,m),

B(3,0),C(0,3),

BC=3,PB=,PC=,

∵△PBC是等腰三角形,

當(dāng)PB=PC時(shí),

=,

m=1,

P(1,1),

當(dāng)PB=BC時(shí),

3=,

m=±,

P(1,)或P(1,),

當(dāng)PC=BC時(shí),

3=,

m=3±

P(1,3+)或P(1,3),

符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為P(1,1)或P(1,)或P(1,)或P(1,3+)或P(1,3).

考點(diǎn):二次函數(shù)的綜合題.

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x

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0

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1

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3

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