Question

11．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（-1，0），點M（m，0）是x軸上的一個動點，
（1）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；
（2）當CM+DM的值最小時，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由點A（-1，0）在拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx-2$上，求得b=-$\frac{3}{2}$，得出拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，求出C（0，-2），A（-1，0），B（4，0），由AC²+BC²=AB²，得出△ABC是直角三角形；
（2）作點C關于x軸的對稱點C′，連接C′D交x軸于點M，求出二次函數的頂點坐標與C關于x軸的對稱點C′，根據軸對稱性及兩點之間線段最短，求得直線C′D的解析式，與x軸的交點的橫坐標即是m的值．

解答 解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵點A（-1，0）在拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx-2$上，
∴$\frac{1}{2}{（-1）^2}+b（-1）-2=0$，
解得：b=-$\frac{3}{2}$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，
∴當x=0時，y=-2，
∴C（0，-2），即OC=2，
當y=0時，$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}x-2=0$，
解得：x₁=-1，x₂=4，
∴A（-1，0），B（4，0），
即：OA=1，OB=4，AB=5．
∴AB²=25，AC²=OA²+OC²=1²+2²=5，BC²=OC²+OB²=2²+4²=20，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形；
（2）作點C關于x軸的對稱點C′，
則C′（0，2），OC′=2，連接C′D交x軸于點M，如圖所示：
根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MD的最小值為線段C'D，
∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴拋物線的頂點$D（\frac{3}{2}，-\frac{25}{8}）$
設直線C'D解析式：y=kx+b（k≠0），則$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ \frac{3}{2}k+b=-\frac{25}{8}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{41}{12}$，b=2，
∴直線C'D解析式：y=-$\frac{41}{12}$x+2，
當y=0時，得x=$\frac{24}{41}$，
∴m=$\frac{24}{41}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點、拋物線解析式的求法、拋物線的頂點坐標、軸對稱的性質、待定系數法求直線的解析式、勾股定理的逆定理、最小值問題等知識；本題綜合性強，有一定難度．