Question

如圖所示，有一塊面積為1的正方形紙片ABCD，M、N分別為AD、BC的邊上中點(diǎn)，將C點(diǎn)折至MN上，落在P點(diǎn)的位置，折痕為BQ，連接PQ．
（1）求MP；
（2）求證：以PQ為邊長的正方形的面積等于．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得BQ垂直平分PC；
進(jìn)而可得△PBC是等邊三角形，故可得PN的值．
根據(jù)圖形的關(guān)系可MP=MN-PN，代入數(shù)據(jù)可得答案；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°；
再在Rt△BCQ中，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得PQ的值，進(jìn)而可得答案．
解答：（1）解：連接BP、PC，由折法知點(diǎn)P是點(diǎn)C關(guān)于折痕BQ的對稱點(diǎn)．
∴BQ垂直平分PC，BC=BP．
又∵M(jìn)、N分別為AD、BC邊上的中點(diǎn)，且ABCD是正方形，
∴BP=PC．
∴BC=BP=PC．
∴△PBC是等邊三角形．
∵PN⊥BC于N，BN=NC=BC=，∠BPN=×∠BPC=30°，
∴PN=，MP=MN-PN=．

（2）證明：由折法知PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°．
在Rt△BCQ中，QC=BC•tan30°=1×=，
∴PQ=．
∴以PQ為邊的正方形的面積為．
點(diǎn)評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．