Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在第四象限，點(diǎn)B在x軸的正半軸上．∠OAB=90°且OA=AB，OB，OC的長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩個(gè)根（OB＞OC）．

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）點(diǎn)P是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O，B重合），過點(diǎn)P的直線l與y軸平行，直線l交邊OA或邊AB于點(diǎn)Q，交邊OC或邊BC于點(diǎn)R．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段QR的長(zhǎng)度為m．已知t=4時(shí)，直線l恰好過點(diǎn)C．當(dāng)0＜t＜3時(shí)，求m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

（3）當(dāng)m=3.5時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A（3，3）， B（6，0）；（2）m=t（0＜t＜3）；（3）P（2，0）或（，0）．

【解析】

（1）先利用因式分解法解方程可得到OB=6，OC=5，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），作AM⊥x軸于M，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得OM=BM=AM=OB=3，于是可寫出B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）作CN⊥x軸于N，如圖，先利用勾股定理計(jì)算出CN得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣3），再利用待定系數(shù)法分別求出直線OC的解析式為，直線OA的解析式為y=x，則根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到Q（t，t），R（t，t），所以QR=t﹣（t），從而得到m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

（3）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=﹣x+6，直線BC的解析式為，然后分類討論：當(dāng)0＜t＜3時(shí)，利用t=3.5可求出t得到P點(diǎn)坐標(biāo)；

當(dāng)3≤t＜4時(shí)，則Q（t，﹣t+6），R（t，t），于是得到﹣t+6﹣（t）=3.5，解得t=10，不滿足t的范圍舍去；當(dāng)4≤t＜6時(shí)，則Q（t，﹣t+6），R（t，），所以﹣t+6﹣（）=3.5，然后解方程求出t得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）∵方程的解為=5，=6，

∴OB=6，OC=5，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），

作AM⊥x軸于M，如圖，

∵∠OAB=90°且OA=AB，

∴△AOB為等腰直角三角形，

∴OM=BM=AM=OB=3，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）；

（2）作CN⊥x軸于N，如圖，

∵t=4時(shí)，直線l恰好過點(diǎn)C，

∴ON=4，在Rt△OCN中，CN===3，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣3），

設(shè)直線OC的解析式為y=kx，把C（4，﹣3）代入得4k=﹣3，解得k=，

∴直線OC的解析式為，設(shè)直線OA的解析式為y=ax，

把A（3，3）代入得3a=3，解得a=1，

∴直線OA的解析式為y=x，

∵P（t，0）（0＜t＜3），

∴Q（t，t），R（t，t），

∴QR=t﹣（t）=t，即m=t（0＜t＜3）；

（3）設(shè)直線AB的解析式為y=px+q，把A（3，3），B（6，0）代入得：，解得：，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+6，

同理可得直線BC的解析式為；

當(dāng)0＜t＜3時(shí)，m=t，

若m=3.5，則t=3.5，

解得t=2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；

當(dāng)3≤t＜4時(shí)，Q（t，﹣t+6），R（t，t），

∴m=﹣t+6﹣（t）=t+6，

若m=3.5，則t+6=3.5，

解得t=10（不合題意舍去）；

當(dāng)4≤t＜6時(shí)，Q（t，﹣t+6），R（t，），

∴m=﹣t+6﹣（）=t+15，

若m=3.5，則t+15=3.5，解得t=，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）或（，0）．