Question

1．如圖，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求證：CD是⊙O的切線．
（2）過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若OB=5，BC=18，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)AB所對(duì)的角是直角，以及等邊對(duì)等角，證明∠ODC=90°，則可以證得；
（2）在直角△ODC中利用勾股定理求得CD的長(zhǎng)，然后根據(jù)△ABC∽△ODC，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可求解．

解答 （1）證明：連接OD．
∵AB是直徑，
∴∠BDA=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
又∵∠CDA=∠CBD，
∴∠CDA+∠ODA=90°，即∠ODC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）OC=BC-OB=18-5=13，
直角△OCD中，OD=OB=5，
CD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∵BE是圓的切線，
∴∠EBC=90°，
同理∠ODC=90°，
∴∠EBC=∠ODC，
又∵∠C=∠C，
∴△EBC∽△ODC，
∴$\frac{BE}{OD}$=$\frac{BC}{CD}$，即$\frac{BE}{5}$=$\frac{18}{12}$，
解得：BE=$\frac{15}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與相似三角形的判定與性質(zhì)，正確證明△ABC∽△ODC是解決本題的關(guān)鍵．