Question

【題目】如圖，一條高速公路在城市A的東偏北30°方向直線延伸，縣城M在城市A東偏北60°方向上，測驗員從A沿高速公路前行4000米到達C，測得縣城M位于C的北偏西60°方向上，現(xiàn)要設計一條從縣城M進入高速公路的路線，請在高速公路上尋找連接點N，使修建到縣城M的道路最短，試確定N點的位置并求出最短路線長．（結果取整數(shù)，≈1.732）

Answer 1

【答案】解：如圖，過M作MN⊥AC交于N點，即MN最短，
∵∠EAD=60°，∠CAD=30°，
∴∠CAM=30°，
∴∠AMN=60°，
又∵C處看M點為北偏西60°，
∴∠FCM=60°，
∴∠MCB=30°，
∵∠EAC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴∠BCA=30°，
∴∠MCA=∠MCB+∠BCA=60°，
∴在Rt△AMC中，∠AMC=90°，∠MAC=30°，
∴MC=AC=2000，∠CMN=30°，
∴NC=MC=1000，
∵AC=4000米，
∴AN=AC﹣NC=4000﹣1000=3000（米）．
答：點N到A市最短路線3000米．

【解析】過M作MN⊥AC交于N點，即MN最短，根據(jù)方向角可以證得∠AMC=90°，根據(jù)三角函數(shù)即可求得MC，進而求得AN的長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解解直角三角形的相關知識，掌握解直角三角形的依據(jù)：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．