【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線,垂足為E,連接DB.
(1)求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m.
①當(dāng)∠MBA=∠BDE時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
②過(guò)點(diǎn)M作MN∥x軸,與拋物線交于點(diǎn)N,P為x軸上一點(diǎn),連接PM,PN,將△PMN沿著MN翻折,得△QMN,若四邊形MPNQ恰好為正方形,直接寫出m的值.
【答案】(1)(1,4)(2)①點(diǎn)M坐標(biāo)(﹣,)或(﹣,﹣);②m的值為 或
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題;
(2)①根據(jù)tan∠MBA=,tan∠BDE==,由∠MBA=∠BDE,構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題;②因?yàn)辄c(diǎn)M、N關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,四邊形MPNQ是正方形,推出點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn),即OP=1,易證GM=GP,即|-m2+2m+3|=|1-m|,解方程即可解決問(wèn)題.
(1)把點(diǎn)B(3,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,
得到,解得,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3,
∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)(1,4);
(2)①作MG⊥x軸于G,連接BM.則∠MGB=90°,設(shè)M(m,﹣m2+2m+3),
∴MG=|﹣m2+2m+3|,BG=3﹣m,
∴tan∠MBA=,
∵DE⊥x軸,D(1,4),
∴∠DEB=90°,DE=4,OE=1,
∵B(3,0),
∴BE=2,
∴tan∠BDE==,
∵∠MBA=∠BDE,
∴=,
當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí), =,
解得m=﹣或3(舍棄),
∴M(﹣,),
當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí), =,
解得m=﹣或m=3(舍棄),
∴點(diǎn)M(﹣,﹣),
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)(﹣,)或(﹣,﹣);
②如圖中,∵MN∥x軸,
∴點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,
∵四邊形MPNQ是正方形,
∴點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn),即OP=1,
易證GM=GP,即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|,
當(dāng)﹣m2+2m+3=1﹣m時(shí),解得m=,
當(dāng)﹣m2+2m+3=m﹣1時(shí),解得m=,
∴滿足條件的m的值為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸相交于A(-1,0),B(5,0)兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在第二象限內(nèi)取一點(diǎn)C,作CD垂直x軸于點(diǎn)D,鏈接AC,且AD=5,CD=8,將Rt△ACD沿x軸向右平移m個(gè)單位,當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí),求m的值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)C第一次落在拋物線上記為點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn).試探究:在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)B、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,點(diǎn)為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),直線分別交軸正半軸,軸于點(diǎn),.
(1)判斷頂點(diǎn)是否在直線上,并說(shuō)明理由.
(2)如圖1,若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn),,且,根據(jù)圖象,寫出的取值范圍.
(3)如圖2,點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)在內(nèi),若點(diǎn),都在二次函數(shù)圖象上,試比較與的大小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】全民健身運(yùn)動(dòng)已成為一種時(shí)尚,為了了解我市居民健身運(yùn)動(dòng)的情況,某健身館的工作人員開展了一項(xiàng)問(wèn)卷調(diào)查,問(wèn)卷包括五個(gè)項(xiàng)目:A:健身房運(yùn)動(dòng);B:跳廣場(chǎng)舞;C:參加暴走團(tuán);D:散布;E:不運(yùn)動(dòng).
以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計(jì)圖表的一部分.
運(yùn)動(dòng)形式 | A | B | C | D | E |
人數(shù) | 12 | 30 | m | 54 | 9 |
請(qǐng)你根據(jù)以上信息,回答下列問(wèn)題:
(1)接受問(wèn)卷調(diào)查的共有 人,圖表中的m= ,n= ;
(2)統(tǒng)計(jì)圖中,A類所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為 ;
(3)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,我市市民最喜愛(ài)的運(yùn)動(dòng)方式是 ,不運(yùn)動(dòng)的市民所占的百分比是 ;
(4)我市碧沙崗公園是附近市民喜愛(ài)的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)所之一,每晚都有“暴走團(tuán)”活動(dòng),若最鄰近的某社區(qū)約有1500人,那么估計(jì)一下該社區(qū)參加碧沙崗“暴走團(tuán)”的大約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC與△CDE都是等腰直角三角形,直角邊AC,CD在同一條直線上,點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn),點(diǎn)P為AD的中點(diǎn),連接AE,BD,PM,PN,MN.
(1)觀察猜想:
圖1中,PM與PN的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 .
(2)探究證明:
將圖1中的△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),得到圖2,AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H,判斷△PMN的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)拓展延伸:
把△CDE繞點(diǎn)C任意旋轉(zhuǎn),若AC=4,CD=2,請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(問(wèn)題背景)
(1)如圖1,等腰中,,,則______;
(知識(shí)應(yīng)用)
(2)如圖2,和都是等腰三角形,,、、三點(diǎn)在同一條直線上,連接.
①求證:;
②請(qǐng)寫出線段,,之間的等量關(guān)系式,并說(shuō)明理由?
(3)如圖3,和均為等邊三角形,在內(nèi)作射線,作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接,.若,,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市推出電腦上網(wǎng)包月制,每月收取費(fèi)用y(元)與上網(wǎng)時(shí)間x(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系如圖所示,其中BA是線段,且BA∥x軸,AC是射線.
(1)當(dāng)x≥30,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若小李4月份上網(wǎng)20小時(shí),他應(yīng)付多少元的上網(wǎng)費(fèi)用?
(3)若小李5月份上網(wǎng)費(fèi)用為75元,則他在該月份的上網(wǎng)時(shí)間是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了創(chuàng)建“最美校園圖書屋”,新購(gòu)買了一批圖書,其中科普類圖書平均每本書的價(jià)格是文學(xué)類圖書平均每本書價(jià)格的1.2倍.已知學(xué)校用12000元購(gòu)買文學(xué)類圖書的本數(shù)比用這些錢購(gòu)買科普類圖書的本數(shù)多100本,那么學(xué)校購(gòu)買文學(xué)類圖書平均每本書的價(jià)格是多少元?設(shè)學(xué)校購(gòu)買文學(xué)類圖書平均每本書的價(jià)格是x元,則下面所列方程中正確的是( )
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)(不和、重合),于點(diǎn),交直線于點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí),求證:
(2)若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí),(1)的結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)畫出圖形(不寫畫法,畫出示意圖);若不成立,請(qǐng)直接寫出正確結(jié)論.
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