Question

如圖，在平面直角坐標系內，O為坐標原點，點A在x軸負半軸上，點B在x軸正半軸上，且OB＞OA．設點C（0，-4），OA²+OB²=17，線段OA、OB的長是關于x的一元二次方程x²-mx+2（m-3）=0的兩個根．
（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）設上述拋物線的頂點為P，求直線PB的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據題意分別求出A、B、C三點坐標，再將A、B、C三點坐標代入y=ax²-+bx+c即可求得拋物線的解析式；
（2）先拋物線的解析式求出頂點P的坐標，進而便可求出直線PB的解析式．

解答：解：（1）∵OA、OB是方程x²-mx+2（m-3）=0的兩個根．
∴OA+OB=mOA•OB=2（m-3），（1分）
∵OA²+OB²=17，
∴（OA+OB）²-2OA•OB=17，
∴m²-4（m-3）=17，
∴m²-4m-5=0，（1分）
∴m₁=5，m₂=-1，（1分）
∵OA+OB=m＞0，
∴m=-1（舍去），（1分）
當m=5時，x²-5x+4=0，
∴x₁=1．x₂=4，（1分）
∵OB＞OA，
∴OA=1，OB=4，
按題意得A（-1，0），B（4，0），
將A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）代入y=ax²-+bx+c，
可得

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=-4

，
解得

a=1 b=-3 c=-4

，
∴拋物線的解析式為y=x²-3x-4；（1分）

（2）∵y=x2-3x-4=(x-

3

2

)2-

25

4

，
∴點P(

3

2

， -

25

4

)，（1分）
設直線PB的解析式為y=kx+m，（1分）
則

4k+m=0 3 2 k+m=- 25 4

，
解得

k= 5 2 m=-10

，
即y=

5

2

x-10．（1分）

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有待定系數法求拋物線的公式和解一元二次方程等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．