Question

如圖，點P是⊙O外一點，PA為⊙O的切線，A為切點，直線PO交⊙O于點E、F，弦AB⊥PF，垂足為D，延長BO交⊙O于點C，連接AC，BF．

（1）求證：PB與⊙O相切；

若AC=12，tan∠F=，求⊙O的直徑．

 

Answer 1

 （1）證明：連接OA，

∵弦AB⊥PF，AD=BD，

∴PA=PB，

在△APO和△BPO中，

，

∴△APO≌△BPO（SSS），

∴∠PAO=∠PBO．

∵PA為⊙O的切線，

∴∠PAO=90°．

∴∠PBO=90°

∴PB與⊙O相切；

 

∵AD=BD，BO=CO，

∴OD=AC=6，

∵tan∠F=，

∴設(shè)；BD=x，則DF=2x，OB=OF=DF﹣OD=6，

在R_t△BOD中，OB²=BD²+OD²，

∴²=x²+6²，

解得：x=8，

∴⊙O的直徑是2BO=2×8=16．