Question

9．如圖，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以每秒2厘米的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上以每秒a厘米的速度由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0≤t＜3）．
（1）用含t的代數(shù)式表示PC的長(zhǎng)度：PC=6-2t．
（2）若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度a為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)時(shí)間和速度表示PC的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)SAS證明△CQP≌△BPD即可；
（3）因?yàn)辄c(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度不相等，所以PB≠CQ，那么PB只能與PC相等，則PB=PC=3，CQ=BD=4，得2t=3，at=4，解出即可．

解答 解：（1）由題意得：PB=2t，
則PC=6-2t；
故答案為：6-2t；
（2，理由是：
當(dāng)t=a=1時(shí)，PB=CQ=2，
∴PC=6-2=4，
∵∠B=∠C，
∴AC=AB=8，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴BD=PC=4，
在△CQP和△BPD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{PC=BD}\\{∠C=∠B}\\{CQ=PB}\end{array}\right.$，
∴△CQP≌△BPD（SAS）；
（3）∵點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度不相等，
∴PB≠CQ，
當(dāng)△BPD于△CQP全等，且∠B=∠C，
∴BP=PC=3，CQ=BD=4，
∵BP=2t=3，CQ=at=4，
∴t=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$a=4，
a=$\frac{8}{3}$，
∴當(dāng)a=$\frac{8}{3}$時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，考查了全等三角形的判定，主要運(yùn)用了路程=速度×?xí)r間的公式，要求熟練運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)．