如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A,它的對(duì)稱軸x=2 與x軸交于點(diǎn)C,直線y=-2x+7經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)B(5,m),且與直線x=2交于點(diǎn)E.
(1)求m的值及該拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若點(diǎn)D是x軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△DCB∽△ECB時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)若P(x,y)是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PB=PC?若存在,試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為x=2,且過(guò)O、A兩點(diǎn),因此A點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0).可用交點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)拋物線的解析式,然后根據(jù)直線y=-2x+7求出B點(diǎn)的坐標(biāo),將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式.
(2)可根據(jù)點(diǎn)A(4,0),B(5,-3),C(2,0)坐標(biāo),當(dāng)點(diǎn)D在直線x=2的右側(cè)時(shí),進(jìn)而得出=,進(jìn)而得出CD的長(zhǎng).當(dāng)點(diǎn)D在直線x=2的左側(cè)時(shí),得出在△DCB中不可能存在與∠DCB相等的角,進(jìn)而得出答案.
(3)由題意可知:P點(diǎn)必為線段BC垂直平分線與拋物線的交點(diǎn),可先求出線段BC的垂直平分線,然后聯(lián)立拋物線的解析式,即可求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵點(diǎn)B(5,m)在直線y=-2x+7上,
∴m=-5×2+7=-3,
∴B(5,-3),
∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A,對(duì)稱軸為x=2,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0)
設(shè)所求的拋物線對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-0)(x-4),
將點(diǎn)B(5,-3)代入上式,
得-3=a(5-0)(5-4),
∴a=-,
∴所求的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x(x-4),
即y=-x2+x.

(2)∵點(diǎn)A(4,0),B(5,-3),C(2,0),
∴AC=4-2=2,BC==3,
當(dāng)點(diǎn)D在直線x=2的右側(cè)時(shí),
當(dāng)△DCB∽△ECB,
=,
=,
解得:CD=9,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(11,0),
當(dāng)點(diǎn)D在直線x=2的左側(cè)時(shí),∵∠ACB=∠CDB+∠CBA,
且∠ACB<∠DCB,
∴在△DCB中不可能存在與∠DCB相等的角,
即此時(shí)不存在點(diǎn)使三角形相似;
綜上所述,存在點(diǎn)D的坐標(biāo)是(11,0),使三角形相似;

(3)存在符合條件的點(diǎn)P使PB=PC,
∵C(2,0),B(5,-3),
∴∠ACB=45°,
BC垂直平分線的解析式為:y=x-5,
,
∴解得:,
,
∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)或().
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了待定系數(shù)法求以一次函數(shù)解析式以及頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式以及函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)求法等知識(shí),結(jié)合數(shù)形結(jié)合熟練應(yīng)用函數(shù)交點(diǎn)求法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A,它的對(duì)稱軸x=-2與x軸交于點(diǎn)C,直線y=-精英家教網(wǎng)2x+1經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)B(2,m),且與y軸.直線x=-2分別交于點(diǎn)D、E.
(1)求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)①判斷△CBE的形狀,并說(shuō)明理由;②判斷CD與BE的位置關(guān)系;
(3)若P(x,y)是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PB=PE?若存在,試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•衡陽(yáng))如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)A(1,0),B(0,3)兩點(diǎn),對(duì)稱軸是x=-1.
(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OA上運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OB上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
①當(dāng)t為何值時(shí),四邊形OMPQ為矩形;
②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A,它的對(duì)稱軸x=2與x軸交于點(diǎn)C,直線y=-2x-1經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)B(-2,m),且與y軸、直線x=2分別交于點(diǎn)D、E,
(1)求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求證:①CB=CE;②D是BE的中點(diǎn).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,且頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,2),
(1)求該拋物線的解析式;
(2)現(xiàn)將它向右平移m(m>0)個(gè)單位,所得拋物線與x軸交于C、D兩點(diǎn),與原拋物線交于點(diǎn)P,△CDP的面積為S,求S關(guān)于m的關(guān)系式;
(3)當(dāng)m=2時(shí),點(diǎn)Q為平移后的拋物線的一動(dòng)點(diǎn),是否存在這樣的⊙Q,使得⊙Q與兩坐標(biāo)軸都相切?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上的另一點(diǎn)E,頂點(diǎn)為M(2,4),矩形ABCD的頂點(diǎn)A與O重合,AD,AB分別在x,y軸上,且AD=2,AB=3.
(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)現(xiàn)將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從左圖所示位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng);同時(shí)AB上一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0≤t≤3),直線AB與拋物線的交點(diǎn)為N,設(shè)多邊形PNCD的面積為S,試探究S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,說(shuō)明理由.
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