【題目】如圖,在正方形ABCD中,PBC上一動點,(不與B、C重合)CE平分DCFAPPE,AP=EP.以此三個條件中的兩個為條件,另一個為結(jié)論,可構(gòu)成三個命題,即:①② ,①③ ,②③

1)試判斷上述三個命題是否正確(直接作答);

2)請選擇一個你認為正確的命題給予證明.

【答案】1)①②③;①③②;②③①上述三個命題均正確;(2)①②③,①③②,②③①證明見解析.

【解析】

1)三個命題都成立;

2)在AB邊上截取BM=BP,連結(jié)MP.通過證明AMPPCE,可證明①② ③;過E點作ENPF,通過證明ABPPNE,可證明①③ ②;過E點作ENCF,通過證明ABPPNE,可證明②③①.

1)①②③;①③②;②③①上述三個命題均正確;

2)證明①②

AB邊上截取BM=BP,連結(jié)MP

BM=BP,∴∠BMP=BPM=45°,AM=PC,∴∠AMP=135

ABCD是正方形,CE平分∠DCF,∴∠PCE=135,∴∠AMP=PCE

APPE,∴∠APB+EPC=90°.

∵∠BAP+APB=90°,∴∠BAP=EPC

在△AMP和△PCE中,∵∠BAP=EPC AM=PC,∠AMP=PCE,∴AMPPCE,∴PA=PE

證明①③

E點作ENPF

CE平分∠DCF,∴∠ECN=90°÷2=45°,∴△ECN是等腰直角三角形,∴EN=CN

ABCD是正方形,∴AB=BC

又∵PA2=AB2+BP2,PE2=PN2+EN2,∴AB2+BP2=PN2+EN2,∴(BP+PC2+BP2=PC+CN2+CN2,∴2BP2+2BPPC=2CN2+2CNPC,∴BP2-CN2+BPPC-CNPC=0,∴(BP+CN)(BP-CN+PCBP-CN=0,∴(BP+CN+PC)(BP-CN=0,∴BP=CN=EN

RtABPRtPNE中,∵AP=PE,BP=EN,∴ABPPNE,∴∠APB=PEN

∵∠EPC+PEN=90°,∴∠APB+EPC=90°,∴∠APE=90°,∴PAPE

證明②③

E點作ENCF

ENCF,∴∠EPN+PEN=90°.

PAPE,∴∠APB+EPN=90°,∴∠APB=EPN

在△ABP和△PNE中,∵∠APB=EPN ,∠B=PNE=90°,AP=PE,∴ABPPNE,∴BP=ENAB=PN

又∵AB=BC,∴BP=EN=CN,∴∠ECN=45,∴CE平分∠DCF

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