Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（1，0）為圓心，以2為半徑的圓與x軸交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于D，E兩點(diǎn)．

（1）直接寫(xiě)出B，C，D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若B、C、D三點(diǎn)在拋物線y=ax2+bx+c上，求出這個(gè)拋物線的解析式及它的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）若圓A的切線交x軸正半軸于點(diǎn)M，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)N，切點(diǎn)為P，∠OMN=30°，試判斷直線MN是否經(jīng)過(guò)B、C、D三點(diǎn)所在拋物線的頂點(diǎn)？說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，連接AD，得OA=1，AD=2，

∴OD= ，

∴D（0，﹣ ），

∵點(diǎn)A（1，0）為圓心，以2為半徑的圓，

與x軸交于B、C兩點(diǎn)，

∴B（﹣1，0），C（3，0）

（2）

解：∵B（﹣1，0），C（3，0），D（0，﹣ ），

∴將B，C，D三點(diǎn)代入拋物線y=ax2+bx+c得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為 ；

∵ ，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣ ）

（3）

解：如圖2，連接AP，在Rt△APM中，∠PMA=30°，AP=2，

∴AM=4，

∴M（5，0），

∵ON=MO×tan30°= ，

∴N（0，﹣ ），

設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，

由于點(diǎn)M（5，0）和N（0，﹣ ）在直線MN上，則 ，解得 ，

∴直線MN的解析式為 ，

∵當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣ ，

∴點(diǎn)（1，﹣ ）在直線 上，

即直線MN經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)

【解析】（1）連接AD，由垂徑定理可求得OD的長(zhǎng)，可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)，由半徑和A點(diǎn)坐標(biāo)可求得B、C的坐標(biāo)；（2）利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，化為頂點(diǎn)式可求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）連接AP，在Rt△APM中，可求得OM的長(zhǎng)，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求得ON的長(zhǎng)，可求得N點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得直線MN的解析式，再把拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入進(jìn)行判斷即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解一次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減�。�