Question

（2013•黃岡一模）如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知折痕AE=5

5

cm，且tan∠EFC=

3

4

．
（1）△AFB與△FEC有什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論．
（2）求矩形ABCD的周長．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，易證得∠B=∠C=90°，∠BAF=∠EFC，繼而證得△AFB∽△FEC；
（2）設(shè)EC=3xcm，F(xiàn)C=4xcm，繼而求得AF=5

5

xcm，則可求得x的值，繼而求得答案．

解答：解：（1）△AFB∽△FEC．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
由折疊的性質(zhì)可得：∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△AFB∽△FEC；

（2）∵tan∠EFC=

3

4

，
∴在Rt△EFC中，

EC

FC

=

3

4

，
設(shè)EC=3xcm，F(xiàn)C=4xcm，
∴EF=

EC2+FC2

=5x（cm），
由折疊的性質(zhì)可得：DE=EF=5xcm，
∴AB=CD=DE+CE=8x（cm），
∵∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=

BF

AB

=

3

4

，
∴BF=6xcm，
∴AF=

AB2+BF2

=10x（cm），
∴AE=

AF2+EF2

=5

5

x（cm），
∵AE=5

5

cm，
∴x=1，
∴AD=BC=AF=10x=10（cm），AB=CD=8x=8（cm），
∴矩形ABCD的周長為：10+10+8+8=36（cm）．

點(diǎn)評：此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理以及折疊的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．