(2012•撫順)如圖,拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2,頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1,點(diǎn)B(4,0)在此拋物線上.

(1)求此拋物線的解析式;
(2)若此拋物線對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為C,點(diǎn)D(x,y)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作直線y=2的垂線,垂足為E.
①用含y的代數(shù)式表示CD2,并猜想CD2與DE2之間的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)給出證明;
②在此拋物線上是否存在點(diǎn)D,使∠EDC=120°?如果存在,請(qǐng)直接寫出D點(diǎn)坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),可以將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式,再代入B點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可.
(2)①由坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式不難得到CD2和DE2的表達(dá)式,再將(1)的拋物線解析式代入CD2的表達(dá)式中,用y替換掉x后,比較兩者的大小關(guān)系即可;
②∠EDC是鈍角,那么點(diǎn)D一定在x軸的上方,且拋物線對(duì)稱軸的左右兩側(cè)各一個(gè)(它們關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱),延長ED交x軸于F,在Rt△CDF中,∠DCF=30°,那么DC=2DF、CF=
3
DF,設(shè)出DF的長后,可以表示出CD、DE的長,由EF=ED+DF=2即可得出DF的長,從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo).
解答:解:(1)依題意,設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x-2)2+1,代入B(4,0),得:
a(4-2)2+1=0,解得:a=-
1
4

∴拋物線的解析式:y=-
1
4
(x-2)2+1.

(2)①猜想:CD2=DE2;
證明:由D(x,y)、C(2,0)、E(x,2)知:
CD2=(x-2)2+y2,DE2=(y-2)2
由(1)知:(x-2)2=-4(y-1)=-4y+4,代入CD2中,得:
CD2=y2-4y+4=(y-2)2=DE2
②由于∠EDC=120°>90°,所以點(diǎn)D必在x軸上方,且拋物線對(duì)稱軸左右兩側(cè)各有一個(gè),以左側(cè)為例:
延長ED交x軸于F,則EF⊥x軸;
在Rt△CDF中,∠FDC=180°-120°=60°,∠DCF=30°,則:
CD=2DF、CF=
3
DF;
設(shè)DF=m,則:CF=
3
m、CD=DE=2m;
∵EF=ED+DF=2m+m=2,
∴m=
2
3
,DF=m=
2
3
,CF=
3
m=
2
3
3
,OF=OC-CF=2-
2
3
3
,
∴D(2-
2
3
3
,
2
3
);
同理,拋物線對(duì)稱軸右側(cè)有:D(2+
2
3
3
,
2
3
);
綜上,存在符合條件的D點(diǎn),且坐標(biāo)為(2-
2
3
3
,
2
3
)或(2+
2
3
3
,
2
3
).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了拋物線解析式的確定、坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式、解直角三角形等重要知識(shí);(2)題中,由于①題為②題做了鋪墊使得總體的難度降低了不少,最后一題中,一定要注意所求點(diǎn)的位置可能有多種情況.
練習(xí)冊系列答案
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(2012•撫順)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°.點(diǎn)D是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AD,并以AD為邊在AD的右側(cè)作等邊△ADE.
(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)E恰好在線段BC上時(shí),請(qǐng)判斷線段DE和BE的數(shù)量關(guān)系,并結(jié)合圖①證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)點(diǎn)E不在直線BC上時(shí),連接BE,其它條件不變,(1)中結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)結(jié)合圖②給予證明;若不成立,請(qǐng)直接寫出新的結(jié)論;
(3)若AC=3,點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)的過程中,是否存在以A、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形?如果存在,直接寫出線段CD的長度;如果不存在,請(qǐng)說明理由.

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(2012•撫順)如圖,是五個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體,其主視圖是(  )

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2
x
(x>0)的圖象于點(diǎn)A、B,則四邊形BOAP的面積為( 。

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(2012•撫順)如圖,小浩從二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象中得到如下信息:
①ab<0     
②4a+b=0    
③當(dāng)y=5時(shí)只能得x=0   
④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
你認(rèn)為其中正確的有( 。

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(2012•撫順)如圖,已知一次函數(shù)y=-
1
2
x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),AB⊥x軸,垂足為B,連接OA.
(1)求此一次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)P為直線y=-
1
2
x+b上的一點(diǎn),且在第一象限內(nèi),經(jīng)過P作x軸的垂線,垂足為Q.若S△POQ=
5
4
S△AOB,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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