Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象頂點(diǎn)為D，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），OB=OC，tan∠ACO=

1

3

．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）若平行于x軸的直線與該拋物線交于點(diǎn)M、N，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑長(zhǎng)度；
（3）如圖2，若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AGP的面積最大？求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△AGP的最大面積．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），OB=OC，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，又由tan∠ACO=

1

3

，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后設(shè)兩點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），將點(diǎn)C代入，即可求得這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）分別從當(dāng)直線MN在x軸上方時(shí)與當(dāng)直線MN在x軸下方時(shí)去分析，然后由所求圓的圓心在拋物線的對(duì)稱軸x=1上，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，又由點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，即可求得該圓的半徑長(zhǎng)度；
（3）首先過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，然后求得點(diǎn)G的坐與直線AG得方程，然后由S_△AGP=S_△APQ+S_△GPQ=

1

2

PQ•（G_{橫坐標(biāo)}-A_{橫坐標(biāo)}），利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題，即可求得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△AGP的最大面積．

解答：解：（1）由OC=OB=3，可知點(diǎn)C坐標(biāo)是（0，-3），
連接AC，在Rt△AOC中，
∵tan∠ACO=

OA

OC

，
∴OA=OC×tan∠ACO=3×

1

3

=1，
故A（-1，0），…（3分）
設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3），
將C（0，-3）代入得：-3=a（0+1）（0-3），
解得：a=1，
∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3．…（5分）

（2）①當(dāng)直線MN在x軸上方時(shí)，設(shè)所求圓的半徑為R（R＞0），設(shè)M在N的左側(cè)，
∵所求圓的圓心在拋物線的對(duì)稱軸x=1上，
∴N（R+1，R）代入y=x²-2x-3中得：R=（R+1）²-2（R+1）-3，
解得R=

1+ 17

2

．…（10分）
②當(dāng)直線MN在x軸下方時(shí)，設(shè)所求圓的半徑為r（r＞0），由①可知N（r+1，-r），代入拋物線方程y=x²-2x-3，可得-r=（r+1）²-2（r+1）-3，
解得：r=

-1+ 17

2

．…（13分）

（3）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，
把G（2，y）代入拋物線的解析式y(tǒng)=x²-2x-3，得G（2，-3）．…（15分）
由A（-1，0）可得直線AG的方程為：y=-x-1，…（16分）
設(shè)P（x，x²-2x-3），則Q（x，-x-1），
∴PQ=-x²+x+2，
S_△AGP=S_△APQ+S_△GPQ=

1

2

PQ•（G_{橫坐標(biāo)}-A_{橫坐標(biāo)}）=

1

2

（-x²+x+2）×3=-

3

2

（x-

1

2

）²+

27

8

，…（18分）
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，△APG的面積最大，…（19分）
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1

2

，-

15

4

），△APG的面積最大值為

27

8

．…（20分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，三角函數(shù)的性質(zhì)以及圓的切線的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想，方程思想與分類討論思想的應(yīng)用．