Question

如圖，拋物線y=x²+mx過點(diǎn)A（4，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是拋物線的頂點(diǎn)
（1）求m的值及Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是x軸下方拋物線上的一個動點(diǎn)，過P作PH⊥X軸，H為垂足．當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方拋物線上運(yùn)動至何點(diǎn)時(shí)，折線P-H-O的長度最長？并且求出此時(shí)折線P-H-O的長度．
（3）請用文字?jǐn)⑹�，�?dāng)點(diǎn)P在x軸下方拋物線上運(yùn)動時(shí)，折線P-H-O的長度隨x的變化情況．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，可求m的值，利用配方法求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)H（x，0），表示P點(diǎn)坐標(biāo)及折線P-H-O的長度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求折線P-H-O長度的最大值；
（3）利用折線P-H-O的長度的解析式，解答折線P-H-O的長度隨x的變化情況．
解答：解：（1）將點(diǎn)A（4，0）代入拋物線y=x²+mx中，得
16+4m=0，
解得m=-4，
∴拋物線解析式為y=x²-4x，
配方，得y=（x-2）²-4，∴Q（2，-4）；

（2）設(shè)H（x，0），則P（x，x²-4x），
可知，折線P-H-O的長度w=x+[-（x²-4x）]=-x²+5x=-（x-）²+，
∵-1＜0，拋物線開口向下，
∴當(dāng)x=時(shí)，折線P-H-O的長度最長，長度為；

（3）∵0＜x＜4，
∴當(dāng)0＜x≤時(shí)，折線P-H-O的長度隨x的增大而增大，
當(dāng)＜x＜4時(shí)，折線P-H-O的長度隨x的增大而減�。�
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求拋物線解析式，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長度，列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答問題．