Question

探索：（1）如果

3x-2

x+1

=3+

m

x+1

，則m=

-5

；
（2）如果

5x-3

x+2

=5+

m

x+2

，則m=

-13

；
總結：如果

ax+b

x+c

=a+

m

x+c

（其中a、b、c為常數(shù)），則m=

b-ac

；
應用：利用上述結論解決：若代數(shù)式

4x+2

x-1

的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)x的值．

Answer 1

分析：（1）變形

3(x+1)-5

x+1

=3+

m

x+1

，把

3x-2

x+1

化為真分式得到3+

-5

x+1

=3+

m

x+1

，即可得到m的值；
（2）與（1）的變形方法一樣；
對于

ax+b

x+c

=a+

m

x+c

（其中a、b、c為常數(shù)），與（1）一樣易得到a+

b-ac

x+c

=a+

m

x+c

，即可得到m的值；
對于

4x+2

x-1

，變形得到

4(x-1)+6

x-1

=4+

6

x-1

，根據(jù)整數(shù)的整除性得到x-1為±1，±2，±3，±6，即可得到x的值．

解答：解：（1）∵

3x-2

x+1

=3+

m

x+1

，
∴

3(x+1)-5

x+1

=3+

m

x+1

∴3+

-5

x+1

=3+

m

x+1

∴m=-5；
（2）∵

5x-3

x+2

=5+

m

x+2

，
∴5+

-13

x+1

=5+

m

x+1

，
∴m=-13；
若

ax+b

x+c

=a+

m

x+c

（其中a、b、c為常數(shù)），
∴a+

b-ac

x+c

=a+

m

x+c

，
∴m=b-ac．
故答案為-5，-13，b-ac．

4x+2

x-1

=

4(x-1)+6

x-1

=4+

6

x-1

，
∵代數(shù)式

4x+2

x-1

的值為整數(shù)，x為整數(shù)，
∴x-1為整數(shù)，并且x-1為±1，±2，±3，±6，
∴x=-5，-2，-1，0，2，3，4，7．

點評：本題考查了分式的混合運算：先進行分式的乘除運算（即把分式的分子或分母因式分解，然后約分），再進行分式的加減運算（異分母通過通分化為同分母）；有括號先算括號．也考查了整數(shù)的整除性．