Question

（2013•麗水）如圖，已知拋物線y=

1

2

x²+bx與直線y=2x交于點O（0，0），A（a，12）．點B是拋物線上O，A之間的一個動點，過點B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交于點C，E．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若點C為OA的中點，求BC的長；
（3）以BC，BE為邊構造矩形BCDE，設點D的坐標為（m，n），求出m，n之間的關系式．

Answer 1

分析：（1）將點A的坐標代入直線解析式求出a的值，繼而將點A的坐標代入拋物線解析式可得出b的值，繼而得出拋物線解析式；
（2）根據(jù)點A的坐標，求出點C的坐標，將點B的縱坐標代入求出點B的橫坐標，繼而可求出BC的長度；
（3）根據(jù)點D的坐標，可得出點E的坐標，點C的坐標，繼而確定點B的坐標，將點B的坐標代入拋物線解析式可求出m，n之間的關系式．

解答：解：（1）∵點A（a，12）在直線y=2x上，
∴12=2a，
解得：a=6，
又∵點A是拋物線y=

1

2

x²+bx上的一點，
將點A（6，12）代入y=

1

2

x²+bx，可得b=-1，
∴拋物線解析式為y=

1

2

x²-x．

（2）∵點C是OA的中點，
∴點C的坐標為（3，6），
把y=6代入y=

1

2

x²-x，
解得：x₁=1+

13

，x₂=1-

13

（舍去），
故BC=1+

13

-3=

13

-2．

（3）∵點A的坐標為（6，12），
∴直線OA的解析式為：y=2x，
∵點D的坐標為（m，n），
∴點E的坐標為（

1

2

n，n），點C的坐標為（m，2m），
∴點B的坐標為（

1

2

n，2m），
把點B（

1

2

n，2m）代入y=

1

2

x²-x，可得m=

1

16

n²-

1

4

n，
∴m、n之間的關系式為m=

1

16

n²-

1

4

n．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了矩形的性質、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的知識，解答本題需要同學們能理解矩形四個頂點的坐標之間的關系．