Question

設邊長為2a的正方形的中心A在直線l上，它的一組對邊垂直于直線l，半徑為r的⊙O的圓心O在直線l上運動，點A、O間距離為d．
（1）如圖①，當r＜a時，根據d與a、r之間關系，將⊙O與正方形的公共點個數填入下表：

d、a、r之間的關系	公共點的個數
d＞a+r
d=a+r
a-r＜d＜a+r
d=a-r
d＜a-r

所以，當r＜a時，⊙O與正方形的公共點的個數可能有

 

個；
（2）如圖②，當r=a時，根據d與a、r之間關系，將⊙O與正方形的公共點個數填入下表：

d、a、r之間的關系	公共點的個數
d＞a+r
d=a+r
a≤d＜a+r
d＜a

所以，當r=a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有

 

個；
（3）如圖③，當⊙O與正方形有5個公共點時，試說明r=

5

4

a．

Answer 1

分析：（1）當r＜a時，通過⊙O向左平移，得到⊙O與正方形的公共點的個數．
（2）當r=a時，正方形固定，把⊙O向左平移得到⊙O與正方形的公共點的個數．
（3）根據⊙O與正方形有5個公共點，在圖③構成直角三角形，利用勾股定理計算得到r與a的關系．

解答：解：（1）

d、a、r之間的關系	公共點的個數
d＞a+r	0
d=a+r	1
a-r＜d＜a+r	2
d=a-r	1
d＜a-r	0

所以，當r＜a時，⊙O與正方形的公共點的個數可能有0、1、2個；

（2）

d、a、r之間的關系	公共點的個數
d＞a+r	0
d=a+r	1
a≤d＜a+r	2
d＜a	4

所以，當r=a，⊙O與正方形的公共點個數可能有0、1、2、4個；
（3）如圖所示，連接OC．
則OE=OC=r，OF=EF-OE=2a-r．

在Rt△OCF中，由勾股定理得：
OF²+FC²=OC²
即（2a-r）²+a²=r^.2
4a²-4ar+r²+a²=r²
5a²=4ar
5a=4r
∴r=

5

4

a．

點評：本題考查的是直線與圓的位置關系，（1）根據r＜a，當正方形固定，把⊙O向左平移時，得到圓與正方形的公共點的個數．（2）當r=a時，把正方形固定，⊙O向左平移，得到圓與正方形的公共點的個數．（3）利用勾股定理計算求出r與a的關系．