Question

11．若兩個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過適當(dāng)?shù)厣舷缕揭颇芡耆�重合則稱這兩個二次函數(shù)為“同位二次函數(shù)”．
（1）請寫出兩個“同位二次函數(shù)”，并說明理由；
（2）已知二次函數(shù)y=2x²-4x+6的一個“同位二次函數(shù)”圖象的頂點在x軸上，求這個“同位二次函數(shù)”；
（3）已知關(guān)于x的兩個二次函數(shù)y₁=a₁x²+b₁x+c₁和y₂=a₂x²+b₂x+c₂是“同位二次函數(shù)”，且函數(shù)y₁與函數(shù)y₁+y₂圖象的頂點相同，求c₂（用含a₁，b₁，c₁的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）可寫出一個頂點在y軸上的兩個二次函數(shù)構(gòu)成“同位二次函數(shù)”，如二次函數(shù)y=x²和二次函數(shù)y=x²+1；
（2）先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y=2x²-4x+6的頂點坐標(biāo)為（1，4），再根據(jù)“同位二次函數(shù)”的定義把頂點平移到x軸即可得到原二次函數(shù)的一個“同位二次函數(shù)”；
（3）根據(jù)“同位二次函數(shù)”的定義得到y(tǒng)₁=a₁x²+b₁x+c₁和y₂=a₂x²+b₂x+c₂的對稱軸相同，根據(jù)新定義得到a₁=a₂，b₁=b₂，則y=y₁+y₂=2a₁x²+2b₁x+c₁+c₂，然后利用函數(shù)y₁與函數(shù)y₁+y₂圖象的頂點相同，而它們的橫坐標(biāo)相同得到$\frac{4{a}_{1}{c}_{1}-{_{1}}^{2}}{4{a}_{1}}$=$\frac{4•2{a}_{1}•（{c}_{1}+{c}_{2}）-4{_{1}}^{2}}{4•2{a}_{1}}$，然后整理后可用含a₁，b₁，c₁的代數(shù)式表示c₂．

解答 解：（1）二次函數(shù)y=x²和二次函數(shù)y=x²+1為“同位二次函數(shù)”．理由如下：
因為二次函數(shù)y=x²的圖象向上平移1個單位即可得到二次函數(shù)y=x²+1的圖象，所以它們?yōu)椤巴�位二次函�?shù)”；
（2）y=2x²-4x+6=2（x-1）²+4，則拋物線y=2x²-4x+6的頂點坐標(biāo)為（1，4），把點（1，4）向下平移4個單位所得對應(yīng)點（1，0）在x軸上，此時平移后的拋物線解析式為y=2（x-1）²，即y=2x²-4x+2，
所以這個“同位二次函數(shù)”為y=2x²-4x+2；
（3）因為y₁=a₁x²+b₁x+c₁和y₂=a₂x²+b₂x+c₂是“同位二次函數(shù)”，
所以a₁=a₂，b₁=b₂，
則y=y₁+y₂=2a₁x²+2b₁x+c₁+c₂，
因為函數(shù)y₁與函數(shù)y₁+y₂圖象的頂點相同，而它們的橫坐標(biāo)相同，
所以$\frac{4{a}_{1}{c}_{1}-{_{1}}^{2}}{4{a}_{1}}$=$\frac{4•2{a}_{1}•（{c}_{1}+{c}_{2}）-4{_{1}}^{2}}{4•2{a}_{1}}$，
所以c₂=$\frac{{_{1}}^{2}}{4{a}_{1}}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．也考查了閱讀理解能力．