Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D．

(1)求線段AC的長(zhǎng)度；

(2)P為線段BC上方拋物線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)E為（0，﹣1），一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)運(yùn)動(dòng)到y軸上的點(diǎn)G，再沿y軸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E．當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí)，求PG+GE的最小值；

(3)將線段AB沿x軸向右平移，設(shè)平移后的線段為A'B'，直至A'P平行于y軸（點(diǎn)P為第2小問中符合題意的P點(diǎn)），連接直線CB'．將△AOC繞著O旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)后A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'、C'，在旋轉(zhuǎn)過程中直線A'C'與y軸交于點(diǎn)M，與線段CB'交于點(diǎn)N．當(dāng)△CMN是以MN為腰的等腰三角形時(shí)，寫出CM的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】(1)AC＝；(2)PG+GE的最小值為；(3)CM的長(zhǎng)度為：2﹣或．

【解析】

（1）令y=0，則x=2或，令x=0，y=2，即：A（-，0）、B（2，0）、C（0，2），則AC=；

（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，設(shè)：P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，-m2+m+2），H（m，-m+2），S四邊形ABPC=S△ABC+S△PBC，S△ABC是個(gè)常量，∴四邊形ABPC的面積最大時(shí)，只需要確定S△PBC最大即可，求出此時(shí)P（，2），過點(diǎn)E作RE⊥GR，使RE與y軸夾角為45度，則GR=GE，則：PG+GE=PG+GR，當(dāng)P、G、R三點(diǎn)共線時(shí)，PG+GE有最小值即可求解；

（3）分MN=CM、MN=CN兩種情況求解即可．

(1)令y＝0，則x＝2或，令x＝0，y＝2，即：A（﹣，0）、B（2，0）、C（0，2），

則AC＝，BC所在的直線方程為：y＝﹣x+2；

(2)過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，

設(shè)：P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2），

S四邊形ABPC＝S△ABC+S△PBC，S△ABC是個(gè)常量，∴四邊形ABPC的面積最大時(shí)，只需要確定S△PBC最大即可，

S△PBC即＝PH（xB）＝（﹣m2+m+2+m﹣2）＝（﹣m2+2m），

當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)取得最大值，此時(shí)P（，2），

過點(diǎn)E作RE⊥GR，使RE與y軸夾角為45度，則GR＝GE，則：PG+GE＝PG+GR，

當(dāng)P、G、R三點(diǎn)共線時(shí)，PG+GE有最小值，/span>

直線ER的方程為y＝﹣x﹣1…①，

則：直線PR方程的k值為1，其方程為：y＝x+…②，

聯(lián)立①、②解得：R（﹣，），則：PR＝，

即PG+GE的最小值為；

(3)①當(dāng)MN＝CM時(shí)，

在等腰△MNC中，過C點(diǎn)作CH⊥MN，

設(shè)：MN＝CM＝a，CH＝x，tan∠MCN＝＝2，

由勾股定理得：a2＝x2+（a﹣）2，解得：x＝a，

則：tan∠CMH＝＝＝tan∠A″MA′，

在△A″MA′中，A′M＝CO﹣CM＝2﹣a，A′A″＝，tan∠C′A″A′＝2，

過點(diǎn)O作A′K⊥A″C′，則：A′K＝A′A″sinA″＝，AM＝，

則：CM＝2﹣；

②當(dāng)MN＝CN時(shí)，過點(diǎn)N作NS⊥CM，

設(shè)N的橫坐標(biāo)為n，

∵tan∠MCN＝＝2，∴CS＝n，CM＝n，

∵∠MA″A′＝∠MCC′＝∠CMC′＝∠A′MA″，∴A′A″＝A′M＝2﹣n＝，

∴CM＝n＝；

故：CM的長(zhǎng)度為：2﹣或．