(2005•中原區(qū))如圖,已知平面直角坐標(biāo)系中三個(gè)點(diǎn)A(-8,0)、B(2,0)、C,O為坐標(biāo)原點(diǎn).以AB為直徑的⊙M與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D.
(1)求直線CD的解析式;
(2)求證:直線CD是⊙M的切線;
(3)過點(diǎn)A作AE⊥CD,垂足為E,且AE與⊙M相交于點(diǎn)F,求一個(gè)一元二次方程,使它的兩個(gè)根分別是AE和AF.

【答案】分析:(1)已知A、B的坐標(biāo)就可以求出直徑AB的長(zhǎng),弦心距MB的長(zhǎng),根據(jù)垂徑定理就可以求出BD的長(zhǎng),即得到D的坐標(biāo).根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出CD的解析式.
(2)連接MD,根據(jù)M,C,D的坐標(biāo)就可以得△CDM的三邊的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理的逆定理證明三角形是直角三角形.
(3)易證△CDM∽△CEA,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等,可以求出AE,再證明Rt△CDM∽R(shí)t△BFA,就可以得到AF,則所求的一元二次方程就可以得到.
解答:(1)解:∵A(-8,0),B(2,0),
∴⊙M的圓心為(-3,0),且⊙M的半徑為5.
連接MD.
在Rt△OMD中,
OD==4,
∴D(0,-4).  (2分)
設(shè)所求直線CD的解析式為y=kx+b,則由C(,0)、D(0,-4)兩點(diǎn),
,
解得
故所求直線CD的解析式為y=x-4. (4分)

(2)證明:在Rt△CDO中,CD2=OD2+OC2=42+(2=
在△CDM中,MC=3+,DM=5,
∴DM2+CD2=25+

∴MD2+CD2=MC2
∴△CDM是直角三角形,且
∠MDC=90°,CD經(jīng)過半徑MD的外端點(diǎn)D,
∴直線CD是⊙M的切線.  (6分)

(3)解:由已知,AE⊥CD,由(2),MD⊥CD,
∴MD∥AE,
∴△CDM∽△CEA.
,即,解得AE=8.(7分)
連接BF.則∠AFB=90°.
又∠MDC=90°,∠CMD=∠CAE,
∴Rt△CDM∽R(shí)t△BFA.
,即,解得AF=6.
故所求的一個(gè)一元二次方程是x2-14x+48=0.(9分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,以及相似三角形的性質(zhì),相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等.
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