Question

 如圖，拋物線y1=a(x+2)2-3與y2=

1

2

(x-3)2+1交于點(diǎn)A（1，3）過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B、C，則以下結(jié)論：
①無(wú)論x取何值，y₂的值總是正數(shù)；②a=

2

3

；③當(dāng)x=0時(shí)，y₂-y₁=4；④2AB=3AC；
其中，結(jié)論正確的是

①②④

（填寫序號(hào)即可）

Answer 1

分析：根據(jù)與y₂=

1

2

（x-3）²+1的圖象在x軸上方即可得出y₂的取值范圍；把A（1，3）代入拋物線y₁=a（x+2）²-3即可得出a的值；由拋物線與y軸的交點(diǎn)求出，y₂-y₁的值；根據(jù)兩函數(shù)的解析式求出A、B、C的坐標(biāo)，計(jì)算出AB與AC的長(zhǎng)，即可得到AB與AC的關(guān)系．

解答：解：①∵拋物線y₂=

1

2

（x-3）²+1開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)在x軸的上方，
∴無(wú)論x取何值，y₂的值總是正數(shù)，故本選項(xiàng)正確；

②把A（1，3）代入，拋物線y₁=a（x+2）²-3得，3=a（1+2）²-3，
解得a=

2

3

，故本選項(xiàng)正確；

③由兩函數(shù)圖象可知，拋物線y₁=a（x+2）²-3
解析式為y₁=

2

3

（x+2）²-3，
當(dāng)x=0時(shí)，y₁=

2

3

（0+2）²-3=-

1

3

，y₂=

1

2

（0-3）²+1=

11

2

，
故y₂-y₁=-

1

3

-

11

2

=-

35

6

，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④∵物線y₁=a（x+2）²-3與y₂=

1

2

（x-3）²+1交于點(diǎn)A（1，3），
∴y₁的對(duì)稱軸為x=-2，y₂的對(duì)稱軸為x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本選項(xiàng)題正確．
故答案為①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵，同時(shí)要熟悉二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．