Question

如圖，在△ABC中，已知AB=5，BC=8，AC=7，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在邊AB、AC上，使△APQ的外接圓與BC相切，則線段PQ的最小值等于

30

7

．

Answer 1

分析：首先設(shè)點(diǎn)O是△APQ的外接圓的圓心，連接OP，OQ，作OH⊥PQ于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，由垂徑定理與圓周角定理易得PQ=2OA•sin∠BAC，然后由當(dāng)AD是直徑時(shí)，即OA=

1

2

AD時(shí)，PQ最小，則可求得AD的長(zhǎng)與sin∠BAC的值，則可求得答案．

解答：解：如圖，設(shè)點(diǎn)O是△APQ的外接圓的圓心，連接OP，OQ，作OH⊥PQ于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴PH=QH=

1

2

PQ，
∵OP=OQ，
∴∠POH=

1

2

∠POQ，
∵∠POQ=2∠BAC，
∴∠POH=∠BAC，
在Rt△POH中，PH=OP•sin∠POH=OA•sin∠BAC，
∴PQ=2OA•sin∠BAC，
即當(dāng)OA最小時(shí)，PQ最小，
∵當(dāng)AD是直徑時(shí)，即OA=

1

2

AD時(shí)，PQ最小，
設(shè)BD=x，則CD=8-x，
∵在Rt△ABD中，AD²=AB²-AD²，
在Rt△ACD中，AD²=AC²-CD²，
∴25-x²=49-（8-x）²，
解得：x=

5

2

，
∴AD=

AB2-BD2

=

5 3

2

，
∴OA=

5 3

4

，
設(shè)AC邊上的高為h，
則AC•h=BC•AD，
∴h=

BC•AD

AC

=

20 3

7

，
∴sin∠BAC=

h

AB

=

4 3

7

，
∴PQ=2OA•sin∠BAC=2×

5 3

4

×

4 3

7

=

30

7

．
故答案為：

30

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、三角形外接圓的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．