Question

觀察下列等式

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
將以上三個等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并寫出：

1

n(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）直接寫出下列各式的計算結果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

=

2011

2012

；
（3）如果有理數a，b滿足|ab-2|+（1-a）²=0，試求 

1

(a+1)(b+2)

+

1

(a+3)(b+4)

+

1

(a+5)(b+6)

+…+

1

(a+2009)(b+2010)

．

Answer 1

分析：（1）根據已知的式子可以直接得到；
（2）根據（1）的結果，把每個加數寫成兩個分數的差的形式，然后進行計算即可求解；
（3）根據非負數的性質求得a、b的值，代入所求的式子，然后利用（1）中的結論即可求解．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）原式=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

；

（3）根據題意得：

ab-2=0 1-a=0

，
解得：

a=1 b=2

，
代入式子得到，原式=

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2010×2012

=

1

2

（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+…+

1

2010

-

1

2012

）=

1

2

（

1

2

-

1

2012

）=

1005

4024

．

點評：本題考查了有理數的運算，正確讀懂題意，理解式子的變形是關鍵．