Question

【題目】如圖，在等邊△ABC 中，點(diǎn) D 是線段 BC 上一點(diǎn).作射線 AD ，點(diǎn) B 關(guān)于射線 AD 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 E .連接 EC 并延長(zhǎng)，交射線 AD 于點(diǎn) F .

（1）補(bǔ)全圖形；（2）求∠AFE 的度數(shù)；（3）用等式表示線段 AF 、CF 、 EF 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）60°；（3）AF=EF+CF，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；

（2）連接AE，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到AE AB ， FAB FAE ，設(shè)FAC ，則FAB FAE 60 ，故EAC 60 60 2，再根據(jù)AE AC 得到AFE 180 FAE FEA 60；

（3）作FCG 60 交 AD 于點(diǎn) G，連接 BF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到ACG 60 GCD BCF，再證明△ ACG ≌△ BCF，得到AG BF，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到BF EF 再得到AF EF CF

（1）補(bǔ)全圖形：

（2）連接AE，

∵△ABC 是等邊三角形，

∴ AB AC BC ， BAC BCA 60.

∵點(diǎn)B關(guān)于射線 AD 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 E ，

∴ AE AB ，FAB FAE .

設(shè)FAC ，則FAB FAE 60

∴ EAC 60 60 2， 又 AE AC .

∴ AFE 180 FAE FEA 60

（3） AF EF CF

證明：如圖 3，作FCG 60 交 AD 于點(diǎn) G，連接 BF.

∴△ FCG 是等邊三角形.

∴ GF CF GC . CGF GFC FCG 60 .

∴ACG 60 GCD BCF

在△ ACG 和△ BCF 中，

∴△ ACG ≌△ BCF .

∴ AG BF .

∵點(diǎn) B 關(guān)于射線 AD 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 E ，

∴ BF EF .

∵ AF AG GF .

∴ AF EF CF