【題目】對于一個矩形ABCD及⊙M給出如下定義:在同一平面內(nèi),如果矩形ABCD的四個頂點到⊙M上一點的距離相等,那么稱這個矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”.如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線l:y= x﹣3交x軸于點M,⊙M的半徑為2,矩形ABCD沿直線運動(BD在直線l上),BD=2,AB∥y軸,當矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”時,點C的坐標為

【答案】( ,﹣ )或( +
【解析】解:如圖所示,矩形在這兩個位置時就是⊙M的“伴侶矩形”,根據(jù)直線l:y= x﹣3得:OM= ,ON=3,由勾股定理得:MN= =2 ,
①矩形在x軸下方時,分別過A、D作兩軸的垂線AH、DG,
由cos∠ABD=cos∠ONM= ,∴ = ,AB= ,則AD=1,
∵DG∥y軸,
∴△MDG∽△MON,
,∴ ,∴DG= ,∴CG= + = ,同理可得: ,∴ ,∴DH= ,∴C( ,﹣ );②矩形在x軸上方時,同理可得:C( );
故答案為:( ,﹣ )或( + ).

根據(jù)“伴侶矩形”的定義可知:圓上的點一定在矩形的對角線交點上,因為只有對角線交點到四個頂點的距離相等,由此畫出圖形,先求出直線與x軸和y軸兩交點的坐標,和矩形的長和寬;
有兩種情況:①矩形在x軸下方時,作輔助線構建相似三角形得比例式,分別求出DG和DH的長,從而求出CG的長,根據(jù)坐標特點寫出點C的坐標;②矩形在x軸上方時,也分別過C、B兩點向兩坐標軸作垂線,利用平行相似得比例式,求出:C( , ).此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的性質(zhì)和矩形等知識,綜合性較強,解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容,對學生的綜合能力要求較高,一定要注意將所學知識貫穿起來.同時,正確理解題意準確畫出符合條件的矩形是本題的關鍵,這就需要熟練掌握矩形的對角線的交點到四個頂點的距離相等.

練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,將矩形紙片ABCD(AD>AB)折疊,使點C剛好落在線段AD上,且折痕分別與邊BC,AD相交,設折疊后點C,D的對應點分別為點G,H,折痕分別與邊BC,AD相交于點E,F(xiàn).

(1)判斷四邊形CEGF的形狀,并證明你的結(jié)論;
(2)若AB=3,BC=9,求線段CE的取值范圍.

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【題目】利用數(shù)軸解決問題:我們知道,若數(shù)軸上點表示的數(shù)是,點表示的數(shù)是,則、兩點間的距離記作,

(1)若,=

(2)若數(shù)軸上一點表示的數(shù)是,,=   

(3)若點表示的數(shù)是,已知,點的左邊,,點在點的右邊,,點以每秒的速度向右移動,同時點、點分別以每秒的速度向左移動.設移動時間為秒,那么是否有最小值?若有,求出最小值并寫出此時的取值范圍;若沒有,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(3,0)兩點,且與y軸交于點C,點D是拋物線的頂點,拋物線的對稱軸DE交x軸于點E,連接BD.
(1)求經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的函數(shù)表達式;
(2)點P是線段BD上一點,當PE=PC時,求點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,過點P作PF⊥x軸于點F,G為拋物線上一動點,M為x軸上一動點,N為直線PF上一動點,當以F、M、G為頂點的四邊形是正方形時,請求出點M的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,對稱軸是直線x=﹣1,有以下結(jié)論:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b=0;④a﹣b+c>2.其中正確的結(jié)論的個數(shù)是( 。

A.1
B.2
C.3
D.4

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,一垂直于地面的燈柱AB被一鋼筋CD固定,CD與地面成45°夾角(∠CDB=45°),在C點上方2米處加固另一條鋼線ED,ED與地面成53°夾角(∠EDB=53°),那么鋼線ED的長度約為多少米?(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】AB∥CD,OE平分∠BOC,OF⊥OE,OP⊥CD,∠ABO=a°.則下列結(jié)論: ①∠BOE=(180﹣a)°;②OF平分∠BOD;③∠POE=∠BOF;④∠POB=2∠DOF.其中正確結(jié)論__________(填編號).

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,直線ABCD相交于點O,OD平分∠BOE,OFOD。

(1)AOF與∠EOF相等嗎?

(2)寫出圖中和∠DOE互補的角。

(3)若∠BOE=600,求∠AOD和∠EOF的度數(shù)。

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【題目】如圖,在ABCD中,AC與BD相交于點O,E為OD的中點,連接AE并延長交DC于點F,則SDEF:SAOB的值為(
A.1:3
B.1:5
C.1:6
D.1:11

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