Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．

（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）（，）；（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形ABPC的面積的最大值為．

【解析】

（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式中，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）已知要使四邊形POP′C是菱形，則P點(diǎn)一定在OC的垂直平分線上，就可根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)知道OC的長(zhǎng)度，從而得到P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，已知P點(diǎn)的縱坐標(biāo)就將其代入解析式中即可求得P點(diǎn)坐標(biāo).
（3）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，可求出BC的解析式從而表示出Q點(diǎn)的解析式，根據(jù)可用含有x的式子表示出四邊形ABPC的面積，最后根據(jù)式子分析最大值即為四邊形ABCP面積的最大值，此時(shí)求出的x即為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再代入解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

解：（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，

解得：；

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為：.

（2）存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形；

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，PP′交CO于E

若四邊形POP′C是菱形，則有；

連接PP′，則于E，

∵C，

∴，

又∵，

∴,

∴；

∴，

解得，（不合題意，舍去），

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（3）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線BC的解析式為：，

則，

解得：，

∴直線BC的解析式為，

則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為；

當(dāng)，

解得：，，

∴，，

，

＝

＝

＝

當(dāng)時(shí)，四邊形ABPC的面積最大

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形ABPC的面積的最大值為．