【題目】如圖,長(zhǎng)方形OABC的OA邊在x軸的正半軸上,OC在y軸的正半軸上,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)B(1,4)和點(diǎn)E(3,0)兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)D在線段OC上,且BD⊥DE,BD=DE,求D點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在條件(2)下,在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M,使得△BDM的周長(zhǎng)為最小,并求△BDM周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo);
(4)在條件(2)下,從B點(diǎn)到E點(diǎn)這段拋物線的圖象上,是否存在一個(gè)點(diǎn)P,使得△PAD的面積最大?若存在,請(qǐng)求出△PAD面積的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)解:將點(diǎn)B(1,4),E(3,0)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得: ,

解得: ,

拋物線的解析式為y=﹣2x2+6x


(2)解:如圖1所示;

∵BD⊥DE,

∴∠BDE=90°.

∴∠BDC+∠EDO=90°.

又∵∠ODE+∠DEO=90°,

∴∠BDC=∠DE0.

在△BDC和△DOE中, ,

∴△BDC≌△DEO.

∴OD=AO=1.

∴D(0,1)


(3)解:如圖2所示:作點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接B′D交拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)M.

∵x=﹣ = ,

∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(2,4).

∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于x= 對(duì)稱,

∴MB=B′M.

∴DM+MB=DM+MB′.

∴當(dāng)點(diǎn)D、M、B′在一條直線上時(shí),MD+MB有最小值(即△BMD的周長(zhǎng)有最小值).

∵由兩點(diǎn)間的距離公式可知:BD= = ,DB′= = ,

∴△BDM的最小值= +

設(shè)直線B′D的解析式為y=kx+b.

將點(diǎn)D、B′的坐標(biāo)代入得: ,

解得:k= ,b=1.

∴直線DB′的解析式為y= x+1.

將x= 代入得:y=

∴M( ,


(4)解:如圖3所示:過點(diǎn)F作FG⊥x軸,垂足為G.

設(shè)點(diǎn)P(a,﹣2a2+6a),則OG=a,PG=﹣2a2+6a.

∵S梯形DOGP= (OD+PG)OG= (﹣2a2+6a+1)×a=﹣a3+3a2+ a,S△ODA= ODOA= ×1×1= ,S△AGP= AGPG=﹣a3+4a2﹣3a,

∴S△PDA=S梯形DOGP﹣S△ODA﹣S△AGP=﹣a2+ a﹣

∴當(dāng)a= 時(shí),S△PDA的最大值為

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ,


【解析】(1)將點(diǎn)B(1,4),E(3,0)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,得到關(guān)于a、b的方程組,求得a、b的值,從而可得到拋物線的解析式;(2)依據(jù)同角的余角相等證明∠BDC=∠DE0,然后再依據(jù)AAS證明△BDC≌△DEO,從而得到OD=AO=1,于是可求得點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)作點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接B′D交拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)M.先求得拋物線的對(duì)稱軸方程,從而得到點(diǎn)B′的坐標(biāo),由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)D、M、B′在一條直線上時(shí),△BMD的周長(zhǎng)有最小值,依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得BD和B′D的長(zhǎng)度,從而得到三角形的周長(zhǎng)最小值,然后依據(jù)待定系數(shù)法求得D、B′的解析式,然后將點(diǎn)M的橫坐標(biāo)代入可求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo);(4)過點(diǎn)F作FG⊥x軸,垂足為G.設(shè)點(diǎn)F(a,﹣2a2+6a),則OG=a,F(xiàn)G=﹣2a2+6a.然后依據(jù)S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF的三角形的面積與a的函數(shù)關(guān)系式,然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,我們把杜甫(絕句)整齊排列放在平面直角坐標(biāo)系中:

(1)“、的坐標(biāo)依次是:______、______________.;

(2)將第1行與第3行對(duì)調(diào),再將第4列與第6列對(duì)調(diào),由開始的坐標(biāo)________依次變換到:________________

(3)“開始的坐標(biāo)是(1,1),使它的坐標(biāo)到(3,2),應(yīng)該哪兩行對(duì)調(diào),同時(shí)哪兩列對(duì)調(diào)?

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(1)求∠BCE的度數(shù);
(2)求證:D為CE的中點(diǎn);
(3)連接OE交BC于點(diǎn)F,若AB= ,求OE的長(zhǎng)度.

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【題目】某公司招聘職員兩名,對(duì)甲、乙、丙、丁四名候選人進(jìn)行了筆試和面試,各項(xiàng)成績(jī)滿分均為100,然后再按筆試占60%、面試占40%計(jì)算候選人的綜合成績(jī)(滿分為100).

他們的各項(xiàng)成績(jī)?nèi)缦卤硭?/span>:

候選人

筆試成績(jī)/

面試成績(jī)/

90

88

84

92

x

90

88

86

(1)直接寫出這四名候選人面試成績(jī)的中位數(shù);

(2)現(xiàn)得知候選人丙的綜合成績(jī)?yōu)?/span>87.6,求表中x的值;

(3)求出其余三名候選人的綜合成績(jī),并以綜合成績(jī)排序確定所要招聘的前兩名的人選.

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【題目】下表是橘子的銷售額隨橘子賣出質(zhì)量的變化表:

質(zhì)量/千克

1

2

3

4

5

6

7

8

9

銷售額/元

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1)這個(gè)表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系?哪個(gè)是自變量?哪個(gè)是因變量?

2)當(dāng)橘子賣出5千克時(shí),銷售額是_______元.

3)如果用表示橘子賣出的質(zhì)量,表示銷售額,按表中給出的關(guān)系,之間的關(guān)系式為______.

4)當(dāng)橘子的銷售額是100元時(shí),共賣出多少千克橘子?

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【題目】乘法公式的探究及應(yīng)用.

(1)如圖1,可以求出陰影部分的面積是 (寫成兩數(shù)平方差的形式);

(2)如圖2,若將陰影部分裁剪下來,重新拼成一個(gè)矩形,它的寬是 ,長(zhǎng)是 ,面積是 (寫成多項(xiàng)式乘法的形式);

(3)比較圖1、圖2兩圖的陰影部分面積,可以得到乘法公式 (用式子表達(dá));

(4)運(yùn)用你所得到的公式,計(jì)算下列各題:

①(2m+n-p)(2m-n+p);②10.3×9.7.

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(1)OC平分AOM,求AOD的度數(shù).

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